Библиографическое описание:

Кочкин С. А., Островский В. В. Определение потенциальной энергии частицы по известной линейной энергетической зависимости периода ее финитного движения в потенциальной яме // Молодой ученый. — 2016. — №18. — С. 20-22.



В данной работе на основе закона сохранения энергии и решения соответствующего интегрального уравнения получено точное выражение для потенциальной энергии частицы по заданной зависимости периода финитного движения частицы от ее полной механической энергии, взятой в линейном приближении. Также проведено сравнение результата с известной потенциальной энергией в случае гармонических колебаний частицы.

Ключевые слова: одномерное финитное движение, зависимость периода от энергии, интегральное уравнение Абеля, гармонические колебания

Во многих теоретических и прикладных задачах классической механики [1], а также других разделов физики [2], включая теорию колебаний атомно-молекулярных систем, возникает необходимость определения зависимости периода или частоты колебаний от полной энергии той или иной частицы, совершающей подобное финитное движение в известном потенциальном поле. Однако нередко требуется знать решение обратной задачи — задачи о нахождении заранее неизвестной потенциальной энергии частицы, совершающей финитное движение в некотором — зачастую достаточно сложном — внешнем поле, по известной (либо из экспериментальных данных, либо из каких-либо иных теоретических предположений или оснований) зависимости периода или частоты такого движения от полной механической энергии частицы.

В общем виде для произвольной энергетической зависимости периода такая обратная задача не имеет готового решения, однако его можно получить в определенных частных случаях. В настоящей работе, на основе методики расчета, предложенной нами ранее в [3] в относительно простом случае, найдено точное решение более сложной задачи при нулевом и первом приближениях в разложении энергетической зависимости периода частицы в степенной ряд.

Рассмотрим частицу массой , которая может совершать финитное движение в симметричной потенциальной яме с потенциальной энергией и с полной механической энергией (). То есть будем предполагать, что — монотонно возрастающая при функция, график которой симметричен относительно оси ординат, причем . Тогда, предполагая отсутствие диссипативных сил, в силу закона сохранения энергии будем иметь

.

Проинтегрируем это уравнение, разделяя переменные, в результате получим выражение, связывающее период финитного движения и потенциальную энергию частицы в виде

, (1)

где — точка возврата, являющаяся корнем уравнения .

Перейдем под интегралом в (1) к новой переменной интегрирования . Для этого сначала выразим из обратную функцию , (т. е. будем рассматривать только положительную полуось в силу симметричности графика функции ). Вычислив дифференциал этой функции в виде , введя обозначение и пересчитав пределы интегрирования, получим выражение, связывающую период финитного движения и функцию :

. (2)

В таком виде выражение (2) представляет собой интегральное уравнение Абеля [4] относительно неизвестной функции , если считать, что — заданная функция. Это означает, что если мы решим интегральное уравнение (2) и найдем функцию , то затем найдем и искомую потенциальную энергию из решения задачи Коши для следующего дифференциального уравнения

. (3)

Решение интегрального уравнения Абеля (2) как частного случая интегрального уравнения Вольтерра первого рода можно находить разными методами, однако проще его найти так, как описано в [4], в результате получим решение в следующем виде:

. (4)

Далее будем считать, что известна степенная зависимость периода финитного движения частицы от ее полной энергии , которую представим в следующем виде

, (5)

где и — постоянные числа.

Вычисляя интеграл в (4) с учетом (5) и затем дифференцируя по , получим функцию в следующем виде

, (6)

где — гамма-функция [5].

Наконец, подставляя найденную функцию в дифференциальное уравнение (3) и решая его при указанном начальном условии, приходим к следующему уравнению относительно неизвестной потенциальной энергии частицы:

, (7)

где для краткости введены следующие обозначения:

, .

Очевидно, что для любого возможного уравнение (7) не имеет решения в явном виде. Анализ этого уравнения показал, что можно найти точное решение только в некоторых частных случаях, например, при . Мы далее рассмотрим его решение при , таким образом, будем искать потенциальную энергию частицы при заданной зависимости периода финитного движения частицы от ее полной энергии в линейном приближении:

. (8)

В результате при придем к кубическому уравнению канонического вида

,

где для удобства введена новая переменная .

Воспользовавшись формулой Кардано [6] для решения подобных уравнений, в результате получим точное вещественное решение для потенциальной энергии частицы при известной линейной зависимости периода ее движения от полной энергии в виде

, (9)

где для краткости введены следующие обозначения:

, .

Легко проверить, что функция (9) является возрастающей при и удовлетворяет условию .

Отметим также, что в нулевом приближении , т. е. когда период финитного движения частицы не зависит от ее энергии, из формулы (6) следует более простое выражение для функции :

.

Тогда решая задачу Коши (3) с найденной функцией , в этом случае получим потенциальную энергию частицы в виде

, (10)

где

.

Таким образом, получили известный вид потенциальной энергии частицы в случае ее гармонических колебаний с периодом , при которых он, как известно, не зависит от энергии частицы [7]. При этом имеет смысл коэффициента квазиупругой силы, действующей на частицу.

Тот же результат (10) можно получить и из формулы (9) при условии малых отклонений частицы от положения устойчивого равновесия, т. е. при разложении полученной зависимости потенциальной энергии (9) в ряд при малых , ограничиваясь лишь квадратичным членом разложения.

В заключение заметим, что учет квадратичного члена, наряду с линейным, в разложении энергетической зависимости периода движения частицы (8) приводит к алгебраическому уравнению пятой степени, которое, согласно теореме Абеля [6], уже неразрешимо явно в радикалах, поэтому решение поставленной задачи в таком случае возможно лишь численными методами.

Литература:

1. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. — М., 2002. — 292 с.

2. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. — М., 1988. — 368 с.

3. Кочкин С. А., Розевика А. А. Задача о нахождении потенциальной энергии классической частицы по известной степенной зависимости периода ее финитного движения от полной энергии // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. — 2016. — № 8(1). — С. 23–26.

4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. — М., 2016. — 192 с.

5. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М., 1979. — 832 с.

6. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — М., 2001. — 192 с.

7. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. — М., 2005. — 560 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle