Библиографическое описание:

Чудинов В. А. Динамика манипулятора, работающего в жидкой среде // Молодой ученый. — 2016. — №15. — С. 213-218.



Рассмотрим манипулятор, состоящий из п звеньев, соединенных вращательными и поступательными парами, и имеющий т степеней свободы.

На погруженный в жидкость манипулятор действуют статические и динамические силы. К статическим относятся сила веса манипулятора и архимедова сила. Их разность составляет плавучесть манипулятора.

На движущиеся в жидкости звенья манипулятора действуют силы инерционного и вязкого сопротивления.

Инерционное сопротивление возникает при неинерционном движении тела. Оно характеризуется вектором присоединенного количества движения и моментом присоединенного количества движения.

Инерционное сопротивление звеньев манипулятора будем учитывать введением присоединенных масс и присоединенных моментов инерции в уравнения кинетической энергии манипулятора.

Силы вязкого сопротивления движению звеньев манипулятора зависят от скоростей движения звеньев, углов набегания потока, шероховатости поверхности, формы звеньев.

В общем случае каждое звено манипулятора осуществляет сложное пространственное вращательно-поступательное движение. Следовательно, обтекание звеньев происходит Суммой разнонаправленных потоков. Согласно циркуляционно-отрывной теории обтекания силы вязкого сопротивления представляются в виде отрывной и циркуляционной составляющих.

Сила вязкого сопротивления жидкости, направленная по нормали к оси звена и действующая на единицу длины:

где — коэффициент нормального сопротивления звена; – плотность жидкости; — нормальная составляющая скорости потока; — диаметр звена.

Соответственно касательная составляющая:

где — осевой коэффициент сопротивления звена;— касательная составляющая скорости потока.

Уравнения Лагранжа 2-го рода для манипулятора, движущегося в жидкости, имеют вид:

где E – эйлеров оператор; Т — кинетическая энергия звеньев; – вектор обобщенных сил, обусловленных суммарными моментами и усилиями в приводах; — вектор обобщенных сил веса звеньев манипулятора; — вектор обобщенных сил вязкого сопротивления движению звеньев.

Кинетическая энергия звена манипулятора может быть записана в матричной форме через квазискорости звеньев:

где вектор проекций скорости полюса звена на связанные со звеном оси; – диагональная матрица с элементами , где – масса звена; – присоединенные массы, учитывающие инерционную составляющие силы сопротивления движению звена в жидкости; – кососимметричная матрица, сопоставляемая вектору столбцу проекций центра инерции звена на связанные со звеном оси, ; – матрица инерции звена. Матрица диагональная, так как связанные со звеном оси совпадают с главными осями инерции звена.

Уравнение можно записать в виде квадратичной формы квазискоростей:

где – вектор квазискоростей; ).

Матрица порядка имеет вид:

.

Кинетическая энергия n звеньев:

Квазискорости звеньев могут быть вычислены по следующим рекуррентным формулам:

где вектор обобщенных скоростей звеньев манипулятора;

где – матрица поворота осей с k-го звена относительно k – 1-го звена; матрица, все элементы которой равны нулю, кроме при линейном перемещении k-го звена соответственно вдоль осей ;

где – матрица размером , все элементы которой равны нулю, кроме при вращении k-го соответственно вокруг осей

Используя обозначение

можно записать уравнение в виде:

Вычислив эйлеровы операторы от Т, получим

где – мерный единичный орт с s-й единичной составляющей.

Производные от могут быть найдены следующим образом. Воспользуемся развернутой записью и продифференцируем по t. Получим:

где – кососимметричная матрица, сопоставляемая единичному орту, совпадающему с осью вращения k-го звена.

Аналогичное выражение получим для производной от :

Причем

Дифференцируя , имеем

Таким образом, операция дифференцирования матрицы заменяется вычислениями, использующим простые арифметические операции.

Будем искать обобщенные силы веса, входящие в правую часть уравнений Лагранжа, через уравнение мощности. Из механики известно, что мощность в действительном движении системы равна

где – вектор силы, прикладываемый к i-й точке системы; – вектор скорости движения i-й точки системы; – обобщенная сила; – обобщенная скорость.

В соответствии с этим мощность силы веса звена

где – проекции вектора силы веса звена на связанные со звеном оси; – вектор – строка проекций скорости точки приложения силы веса на связанные со звеном оси;

где – матрица поворота осей связанной системы относительно инерциальной; – проекций вектора остаточной силы веса звена на инерциальные оси.

Вектор скорости точки приложения силы веса

где – скорость полюса звена; – вектор-радиус приложения силы веса в связанной системе координат; – вектор угловой скорости звена.

Записывая (16) в матричной форме, получим

Подставляя (15), (17) в (14), имеет

Суммарная мощность сил веса звеньев, действующих на манипулятор,

Найдем обобщенные силы веса

Подставляя в (18) формулу (4) и дифференцируя, получаем

где - m – мерный орт с s – й единичной составляющей.

Для элементарной силы вязкого сопротивления жидкости, приложенной к элементу dL звена, расположенному на расстоянии L1 от оси вращения звена, можно записать следующее выражение:

где

Матрицы и имеют вид

Интегрируя в пределах от нуля до и проделав промежуточные преобразования, получим значение силы вязкого сопротивления

Обозначая выражение в первых квадратных скобках , можно записать

Зная силу сопротивления движению, найдем диссипативную функцию звена

Диссипативная функция n звеньев равна сумме диссипативных функций:

Обобщенные силы сопротивления находим, беря частные производные от Ф по обобщенным скоростям:

Подставляя в выражение для и беря частную производную получаем

Уравнения динамики могут быть использованы для управления быстродействующими манипуляторами, а также при машинном проектировании робота для сравнения динамических качеств различных кинематических схем манипуляторов, для определения требуемого быстродействия и мощностей приводов, при отладке и исследовании алгоритмов управления манипуляторами для имитации движения манипулятора в жидкой среде.

Литература:

  1. Поезжаева Е. В. // Теория механизмов и механика систем машин. Промышленные роботы: учеб. пособие: в 3 ч. / Е. В. Поезжаева. — Пермь: Изд-во Перм. Гос. техн. ун-та, 2009. – Ч. 2. – 185.
  2. Иванова В. И. и др. Математическая модель манипулятора как объекта управления. — В сб.: Теория, принципы устройства и применение роботов и манипуляторов. Изд. ЛПИ, 1974.
  3. Кулешов В. С., Лакота Н. А. Динамика систем управления манипуляторами. М., «Энергия», 1974.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle