Статья посвящена проблеме обучения школьников решению оптимизационных задач математики.
Ключевые слова: оптимизационные задачи, интеграционные связи, прикладная направленность обучения
Активное развитие современных глобализационных процессов обусловило значительные качественные изменения, воздействующие на все области человеческой жизнедеятельности. Основу глобальных трансформаций составляют процессы унификации и стандартизации, затрагивающие, прежде всего процессы подготовки современных специалистов во всех сферах глобального воспроизводственного процесса [3. C.138]. Будучи активным участником международной жизни, наша страна объективно вынуждена адаптировать систему образования к реалиям современного этапа. Имея достаточно мощный потенциал в сфере подготовки специалистов, российская система, тем не менее, предполагает фундаментальные изменения, конечной целью которых является создание дееспособной современной образовательной модели. Модернизация отечественного образования направлена как на учет общих тенденций мирового развития, так и на отражение общенациональных интересов и образовательных традиций. Так, например, в Концепции развития математического образования в Российской федерации отмечается, что успехи страны «… зависят от уровня математической науки, математического образования и математической грамотности всего населения…» [1. C.1]. В соответствии с Федеральным государственным стандартом среднего общего образования изучение математики должно обеспечить, в частности, сформированность умений применять полученные знания при решении различных задач, сформированность представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления. [2. II]
Таким образом, одной из главных целей обучения математике становится развитие школьника средствами самого предмета, подготовка обучающихся к практической жизни. Тем самым повышается необходимость усиления прикладной направленности обучения математике, реализующей как образовательные, так и воспитательные цели обучения.
Одним из средств подобного усиления являются оптимизационные задачи. Под оптимизационными математическими (в частности, экономико-математическими) задачами понимают задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта [6]. С целью выявления роли и места оптимизационных задач в школьном математическом образовании был проведен опрос обучающихся 5–11 классов (188 респондентов) и учителей математики (308 респондентов). Диагностика данных полученных во время опроса свидетельствует о значимости оптимизационных задач в школьном математическом образовании — 77,6 % учителей и 68,1 % учащихся считают необходимым изучение данного вида задач.
Включение оптимизационных задач в содержание школьного курса математики выполняет целый ряд функций. Во-первых, эти задачи имеют значительный интеграционный потенциал. Они обеспечивают реализацию интердисциплинарных связей математики. Под интердисциплинарными связями мы понимаем связи математики с другими учебными дисциплинами и предметными областями [4. C.67–68]. Большинство оптимизационных задач связаны с экономикой: задача об оптимальном использовании ресурсов, задача о смесях, транспортная задача и мн. др. Кроме того, при решении подобных задач можно использовать информационные технологии: пакеты прикладных программ, средства компьютерного моделирования, динамические математические программы и т. п. Тем самым, реализуются интердисциплинарные связи математики с информатикой.
Во-вторых, необходимость качественного обучения решению оптимизационных задач связана с довлеющим влиянием ЕГЭ как формы итоговой аттестации. Вариант ЕГЭ, в среднем, содержит 3–4 задания на нахождение оптимального значения. Более того, с 2015 года во второй части ЕГЭ по математике добавлено задание высокого уровня сложности (код 2.1.12 по КЭС, код 6.1. по КТ) с развёрнутым ответом, проверяющее практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей [5]
Кроме того, в ходе опроса было выяснено, что более 76,6 % обучающихся испытывают затруднения при решении оптимизационных задач. Это подтверждается и статистикой единого государственного экзамена по математике: лишь 15 % выпускников 2015 года получили ненулевые баллы за задание № 19 с экономическим содержанием, а максимальный балл был выставлен 7 % обучающихся [7. C. 5]. Окончательные итоги ЕГЭ 2016 г. еще не подведены, но, видимо, принципиальные изменения в этой части по сравнению с 2015 г. мало вероятны.
Учителя математики отмечают, что количество часов, отводимых программой на качественное обучение решению оптимизационных задач недостаточно (индекс удовлетворенности I = –0,4). Индекс рассчитывался по формуле 
, где N — общее число респондентов, a — число респондентов, считающих, что количество часов более чем достаточно, b — число респондентов, считающих, что количество часов достаточно для качественного изучения темы, c — число респондентов, ответивших, что часы распределены нерационально, d — число респондентов, полагающих, что часов явно недостаточно, и e — количество тех, кто считает, что часы на оптимизационные задачи вообще не запланированы. Из-за отсутствия достаточного количества материала в учебниках математики, учителя при подготовке к урокам вынуждены использовать дополнительную литературу. Более 50 % опрошенных регулярно используют пособия для подготовки к ЕГЭ, около 30 % — дидактические материалы к учебнику, 13 % — другие материалы.
Класс оптимизационных задач, которые учителя математики рассматривают на своих уроках, весьма узок: в основном решаются задачи на нахождение экстремума функции на некотором промежутке и наибольшего (наименьшего) значения функции. В последние два года к оптимизационным задачам, рассматриваемым на уроках математики, добавились задачи с экономическим содержанием — как правило, аналоги задания № 17 (в 2015 г. — № 19) профильного ЕГЭ по математике. Методы решения оптимизационных задач также не отличаются разнообразием — в основном, это методы дифференциального исчисления, изредка используются различного рода графические иллюстрации. Таким образом, можно сделать вывод о недостаточной разработанности методики обучения решению оптимизационных задач в школьном курсе математики, что актуализирует поиск новых форм и методов в этой области.
Мы считаем, что с оптимизационными задачами необходимо знакомить учащихся на протяжении всех лет обучения, используя самые разнообразные методы решения подобных задач. Это и задачи на составление и решение уравнений, и задачи на сравнение чисел и/или величин, и задачи с недостающими или избыточными данными. На этом этапе может и должна осуществляться функциональная пропедевтика. Знакомство с процентами позволяет решать несложные экономические задачи. Кроме того, уже в этом возрасте можно рассматривать простейшие оптимизационные геометрические задачи с использованием различных динамических моделей.
Далее в основном курсе математики обучающиеся знакомятся с понятием функции и с этого времени оптимизационные задачи могут постоянно рассматриваться при решении уравнений и неравенств, построении графиков функций, изучении их свойств и т. д. Изучение арифметической и геометрической прогрессий позволяет рассмотреть задачи по выплате кредитов с дифференцированными и аннуитетными платежами, задачи вычисления дивидендов по вкладу, задачи нахождения наибольшей прибыли или наименьших расходов.
В старших классах имеет смысл проектирование специального элективного курса по оптимизационным задачам, основными целями которого будут пополнение знаний по теме «Оптимизационные задачи и методы их решения», формирование умений строить экономико-математические модели, знакомство с пакетами прикладных программ. Подобный элективный курс будет способствовать как подготовке обучающихся к единому государственному экзамену по математике, так и построению ими собственной образовательной траектории, определению своего дальнейшего жизненного пути.
Таким образом, функции оптимизационных задач в школьном математическом образовании существенны и многообразны.
Литература:
- Концепция развития математического образования в Российской федерации // (утв. Распоряжением Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. № 2506-р)
- Федеральный государственный стандарт среднего общего образования // (утв. Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012 г. № 413
- Волков Г. Ю. Государственная идеология как условие сохранения национальной конкурентоспособности в условиях глобализации // Социосфера. — 2014. № 1. С. 138–141
- Полякова Т. С., Жмурова И. Ю., Лялина Е. В. Интеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования //Методический поиск: проблемы и решения. — 2015. № 1. С. 66–72
- ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений» [Электронный ре-сурс] http://www.fipi.ru (29.03.2016 г.)
- Экономико-математический словарь [Электронный ресурс] http://economic_mathematics.academic.ru (29.03.2016 г.)
- Ященко И. В., Семенов А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике [Электронный ресурс] http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy (30.06.2016 г.)
