Библиографическое описание:

Кадырбеков Т. К., Хидоятова М. А. Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 26-29.



Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром.

(1)

где малый параметр некоторая непрырывная функция своих аргументов. ядро

Согласно методу двух масштабного разложения ишем решение уровнение (1) в виде асимптотического ряда [1,2]

(2)

где (3)

Постоянные определяем из условия ограниченности решений

Поставляя значения и определяемые равенствами (3) в правую часть разложения (2) находим

(4)

(5)

Далее разлогая функцию в ряд по степеням имеем

(6)

Поставляя соотношения (2), (5), и (6) в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты пари одинаковых степеней фф получаем

(7)

(8)

(9)

Вводя медленно меняющиеся амплитуду и фазу из уравнения (7) находим

(10)

Поставляя выражение 10 в правую часть уравнения (8) имеем

(11)

Чтобы исключить появление пекулярных (вековых) членов разложения, необходимо положить [3]

(12)

где .

Так как те переходя в уравнении (II) к переменной, получаем

(13)

Определим функции и посредством соотношений.

(15)

Тогда из уравнения (13) методом вариации параметров, находим

(17)

где — медленно меняющиеся функции, определяемые из условия отсутствуют вековых членов в выражениях для .

Подставляя равенства (10) и (17) в правую часть уравнения (9) и используя условия отсутствие сингулярных членов в разложений, находим для определения и уравнения в виде [3, 4]

(18)

,

,

,

Из системы уравнений (18) следует, что если , то необходимо положить так как в противном случае разложение имело бы сингулярные члены. Предположив, что ,из системы (18) найдем медленно меняющиеся функции и .

Таким образом, определяются остальные последующие члены разложение (2) Следовательно, при вычислении члена нужно учитывать вид решения а также равномерную пригодность и на достаточно большом промежутке времени. Итак используя соотношения (2), (4) формуле (10) и выражение (17) имеем

Литература:

  1. Самойленко А. М. «К вопросу обоснования метода усреднения для многочастотных колебательных систем»// Дифференциальные уравнения.1987.№ 23 стр. 276–278
  2. Бигун Я. Н., Форчук В. И. «применение метода усреднения для исследования одного класса многочастотного систем с запаздыванием» // Укр. Мат. Журнал 1980 № 2 стр. 149–164.
  3. Филатов А. Н. «Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений». Ташкент Фан, АН УзССР, 1974 г.
  4. Кадырбеков Т. К. «Нелинейные колебания вязкоупругой балки. Механика полимеров». Рига.1973г.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle