Библиографическое описание:
Кадырбеков, Т. К. Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром / Т. К. Кадырбеков, М. А. Хидоятова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2016. — № 13 (117). — С. 26-29. — URL: https://moluch.ru/archive/117/32121/ (дата обращения: 23.04.2024).
Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром.
(1)
где 
малый параметр 
некоторая непрырывная функция своих аргументов. 
ядро
Согласно методу двух масштабного разложения ишем решение уровнение (1) в виде асимптотического ряда [1,2]
(2)
где 
(3)
Постоянные 
определяем из условия ограниченности решений
Поставляя значения 
и 
определяемые равенствами (3) в правую часть разложения (2) находим
(4)
(5)
Далее разлогая функцию
в ряд по степеням
имеем
(6)
Поставляя соотношения (2), (5), и (6) в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты пари одинаковых степеней фф получаем
(7)
(8)
(9)
Вводя медленно меняющиеся амплитуду
и фазу
из уравнения (7) находим
(10)
Поставляя выражение 10 в правую часть уравнения (8) имеем
(11)
Чтобы исключить появление пекулярных (вековых) членов разложения, необходимо положить [3]
—
(12)
где
.
Так как 
те переходя в уравнении (II) к переменной
, получаем
(13)
Определим функции 
и 
посредством соотношений.
(15)
Тогда из уравнения (13) методом вариации параметров, находим
(17)
где 
— медленно меняющиеся функции, определяемые из условия отсутствуют вековых членов в выражениях для 
.
Подставляя равенства (10) и (17) в правую часть уравнения (9) и используя условия отсутствие сингулярных членов в разложений, находим для определения 
и 
уравнения в виде [3, 4]
(18)
,
,
,
Из системы уравнений (18) следует, что если
, то необходимо положить
так как в противном случае разложение имело бы сингулярные члены. Предположив, что
,из системы (18) найдем медленно меняющиеся функции
и
.
Таким образом, определяются остальные последующие члены разложение (2) Следовательно, при вычислении члена 
нужно учитывать вид решения 
а также равномерную пригодность 
и 
на достаточно большом промежутке времени. Итак используя соотношения (2), (4) формуле (10) и выражение (17) имеем
Литература:
-
Самойленко А. М. «К вопросу обоснования метода усреднения для многочастотных колебательных систем»// Дифференциальные уравнения.1987.№ 23 стр. 276–278
-
Бигун Я. Н., Форчук В. И. «применение метода усреднения для исследования одного класса многочастотного систем с запаздыванием» // Укр. Мат. Журнал 1980 № 2 стр. 149–164.
-
Филатов А. Н. «Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений». Ташкент Фан, АН УзССР, 1974 г.
-
Кадырбеков Т. К. «Нелинейные колебания вязкоупругой балки. Механика полимеров». Рига.1973г.
Основные термины (генерируются автоматически): малый параметр, правая часть уравнения, уравнение, функция.
Похожие статьи
Естественной является случай, когда правой части системы (16), низший порядок членов относительно равен единице, если отбросить функцию .
Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.
Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, неизвестная функция, система, вектор, точное решение системы, условие теоремы, Теорема
Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром.
причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция неотрицательна и удовлетворяет условию.
Для того, чтобы уравнение (12) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого уравнения было ортогональным решением союзной...
Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.
и в Значит, функция в является решением эллиптического уравнения.
В силу условия (11) правая часть уравнения (12) неотрицательна в области В самом деле, Пусть Поскольку оператор локально равномерно эллиптичен при где – достаточно малое число, и его...
...(14), необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна ко всем векторам
Интегрируя уравнение (17), определим неизвестную функцию
Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.
Поэтому квадратичным слагаемым в разложении функции в ряд по малому параметру можно в первом приближении пренебречь и считать, что .
В первой стационарной точке собственными значениями матрицы Якоби правой части уравнений (2).
В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к...
. Решением этого уравнения при является функция.
. При правая часть уравнения (9) обращается в ноль только в точке и, соответственно, при любом малом возмущении скорости в начальный момент времени начнется процесс непрерывного увеличения радиуса...
Естественной является случай, когда правой части системы (16), низший порядок членов относительно равен единице, если отбросить функцию .
Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.
Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, неизвестная функция, система, вектор, точное решение системы, условие теоремы, Теорема
Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром.
причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция неотрицательна и удовлетворяет условию.
Для того, чтобы уравнение (12) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого уравнения было ортогональным решением союзной...
Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.
и в Значит, функция в является решением эллиптического уравнения.
В силу условия (11) правая часть уравнения (12) неотрицательна в области В самом деле, Пусть Поскольку оператор локально равномерно эллиптичен при где – достаточно малое число, и его...
...(14), необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна ко всем векторам
Интегрируя уравнение (17), определим неизвестную функцию
Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.
Поэтому квадратичным слагаемым в разложении функции в ряд по малому параметру можно в первом приближении пренебречь и считать, что .
В первой стационарной точке собственными значениями матрицы Якоби правой части уравнений (2).
В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к...
. Решением этого уравнения при является функция.
. При правая часть уравнения (9) обращается в ноль только в точке и, соответственно, при любом малом возмущении скорости в начальный момент времени начнется процесс непрерывного увеличения радиуса...
