Библиографическое описание:

Эгамбердиев А. Н. Расположение собственных значений обобщенной модели Фридрихса // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 60-62.



В рамках проблемы нескольких тел на непрерывном пространстве и на решетке исследовано большое число задач о существовании собственных значений для систем квазичастиц, число которых сохраняется [1]. Однако имеются в определенном смысле более актуальные и интересные задачи, возникающие в теории твердого тела [2], статистической физике [3], теории квантового поля [4] и теории химических реакций [5], в которых число квазичастиц не сохраняется.

В настоящей работе рассматривается семейство обобщенной модели Фридрихса ,,, действующей в двухчастичном обрезанном подпространстве фоковского пространства. Описано множество собственных значений лежащих ниже существенного спектра оператора .

Пустъ -трехмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней, — гилъбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на , -одномерное комплексное пространство.

Обозначим , , .

Определение 1. Гилъбертово пространство H называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства.

Рассмотрим семейство ограниченных и самосопряженных операторов , , (семейство обобщенных моделей Фридрихса), действующих в гилъбертовом пространстве и задающихся формулой

,, (1)

Где и — вещественные положительные числа, -вещественно-непрерывная (отличная от нуля) функция на , а функция определяется равенством:

,

, .

Оператор возмущения , оператора , является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора , . Известно, что

,

где числа и определяются равенствами:

, .

Из последних двух фактов следует, что

.

Видно, что существенный спектр оператора не зависит от . В частности

.

Замечание 2. Отметим, что функция записывается в виде

, .

Следовательно, для любого функция имеет единственный невырожденный минимум в точке .

Следующая теорема описывает число собственных значений оператора .

Теорема 1. Для любого оператор имеет не более чем по одному простых собственных значений лежащихлевее и правее существенного спектра.

Положим:

Для любых и имеет место . Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке и непрерывная функция на , в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем, что существует конечный интеграл

.

Обозначим

Следующая теорема описывает расположение собственных значений оператора .

Теорема 2.

1)Для любых и оператор не имеет собственных значений, лежащих ниже существенного спектра;

2)Для любого ненулевого оператор имеет единственное собственное значение лежащее на ;

3)Для любых и оператор имеет единственное собственное значение Более того

и

В силу теоремы 2 можно сформулировать аналогичную теоремы о собственном значении оператора лежащих правее его существенного спектра.

Заметим, что теорема 2 играет важную роль при изучени структуры существенного спектра оператора

действующего в гильбертовом пространстве

Здесь под знаком интеграла стоят одинаковые слои.

Литература:

  1. Ю. А. Изюмов, М. В. Медведев. Магнитный полярон в ферромагнитном кристалле. ЖЭТФ. 1970, вып. 2, № 8, с. 553–560.
  2. А. Т. Mogilner. Hamiltonians of solid state physics at few particle discrete Schroedinerger operators: problems and results. Advances in Sov. Math. 5 (1991), 139–194.
  3. V. A. Malishev and R. A. Minlos. Linear infinite-particle operators. Translations of Math. Monagraphs. Amer. Math. Soc. Trasl. 177 (1996), № 2, 159–193.
  4. K. O. Friedrichs. On the perturbation of continuous spectra. Comm. Appl. Math. 1 (1948), 361–406.
  5. V. Bach, J. Froehlich, I. M. Sigal. Mathematical theory of non-relavistic matter and radiation. Lett. Math. Phys. 34 (1995), 183–201.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle