Условия существования виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса

В настоящей работе рассматривается обобщенная модель Фридрихса , действующая в прямой сумме 0 — и 1 — частичных подпространств Фоковского пространства.

Такие модели обычно возникают в актуальных задачах квантовой механики, статистической механики и гидродинамики [1–3]. Пороговые резонансы для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке, изучены в работах [4,5], a для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [6,7]. В данной работе обсуждается случай параметра функции специального вида. Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора . Исследуются необходимые и достаточные условия для того, чтобы, оператор имел виртуальный уровень в точке (или резонанс с нулевой энергией) в зависимости от точки минимума функции . При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

Пусть - трехмерный тор, т. е. куб — с соответствующим отождествлением противоположных граней, — одномерное комплексное пространство и — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Символом обозначается прямая сумма пространств и , т. е. . Пространства и называются нольчастичным и одночастичным подпространствами фоковского пространства по , соответственно.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как блочно–операторная матрица

,

где матричные элементы , , определяются равенствами

, .

При этом — фиксированное вещественное число, — вещественнозначная четная дважды непрерывно дифференцируемая функция на , функция определена по формулам

,

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Из известной теоремы Г. Вейля [8] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что .

Определим регулярную в функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Рассмотрим точки из , для которых , причем при . Ясно, что число таких точек равно 27. Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках , . Функция является непрерывной на , поэтому существует конечный интеграл

.

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что .

Пусть (соот. ) — банахово пространство непрерывных (соот. интегрируемых) функций, определенных на .

Определение 1.Пусть . Говорят, что оператор имеет виртуальный уровень в точке (или резонанс с нулевой энергией), если число является собственным значением интегрального оператора

и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция удовлетворяет условию при некотором .

Следующая теорема о необходимых и достаточных условиях для того чтобы, оператор имел виртуальный уровень в точке .

Теорема 1.Оператор имеет виртуальный уровень в точке тогда и только тогда, когда и при некотором .

Доказательство. Необходимость. Пусть оператор имеет виртуальный уровень в точке . Тогда по определению 1 уравнение

(1)

имеет нетривиальное решение , удовлетворяющее условию при некотором . Видно, что это решение равно (с точностью до константы) функции и следовательно, .

Достаточность. Пусть и при некотором . Тогда функция является решением уравнения (1), и следовательно, по определению 1 оператор имеет виртуальный уровень в точке . Теорема 1 доказано.

Из доказательства теоремы 1 видно, что если оператор имеет виртуальный уровень в точке , тогда решение уравнения равно (с точностью до константы) функции .

Литература:

1. Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды Мат. Инс-та АН СССР, 73 (1964), С. 292–313.
2. Минлос Р. А., Синай Я. Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. Теор. и матем. физ. 2:2 (1979), С. 230–243.
3. Дынкин Е. М., Набако С. Н., Яковлев С. И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебраи анализ. 3:2 (1991), С. 77–90.
4. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbations. J. Math. Anal. Appl. 330 (2007), P. 1152–1168.
5. Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The Essential and Discrete Spectrum of a Model Operator Associated to a System of Three Identical Quantum Particles. Rep. Math. Phys. 63:3 (2009), P. 359–380.
6. Albeverio S., Lakaev S. N., Makarov K. A., Muminov Z. I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice. Comm. Math. Phys. 262 (2006), P. 91–115.
7. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare. 5 (2004), P. 743–772.
8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4, Анализ операторов. — М., Мир, 1982.