Библиографическое описание:

Колотов М. Е., Смирнова Т. А. Декомпозиция линейной модели квадрокоптера // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 29-33.



В статье предложен авторский вариант декомпозиции линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей динамику квадрокоптера, упрощающий последующий анализ модели и синтез системы управления. Данный подход позволяет преобразовать сложную MIMO-систему в 6 независимых SISO-подсистем.

Ключевые слова: квадрокоптер, системы управления, декомпозиция, пространство состояний

В настоящее время сфера применения беспилотных летательных аппаратов (далее БПЛА) в жизнедеятельности человека неуклонно расширяется. Так, ни одна современная военная операция не происходит без предварительной разведки с применением БПЛА. Крупные интернет-магазины уже используют дронов-курьеров в штатном режиме. Обыкновенному же пользователю БПЛА могут предложить возможность проведения качественной фото- или видеосъемки любого события по вполне приемлемым ценам. В данной статье будет рассмотрена математическая модель БПЛА с четырьмя несущими винтами, вращающимися в диагонально противоположных направлениях. Данная математическая модель основана на системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получена путем линеаризации системы, выведенной в [1]. Так как синтез системы управления и анализ модели значительно упрощается при работе с SISO-системами (Single-Input Single-Output), по сравнению с MIMO-системами (Multiple-Input Multiple-Output), работа посвящена декомпозиции линейной MIMO-системы на несколько SISO-подсистем.

Основным объектом данной работы является система обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная из модели динамики квадрокоптера вида (1), представленной в [1], путем линеаризации в окрестности положения равновесия (2).

.(1)

(2)

Где управляющий сигнал представляет собой квадрат угловой скорости винта i-го мотора квадрокоптера, — координаты центра масс квадрокоптера в абсолютной системе координат, — углы Эйлера, представляющие собой ориентацию квадрокоптера (крен, тангаж и рысканье соответственно). Значение находится из уравнения вертикальной динамики квадрокоптера с допущением, что при данной величине управляющего сигнала БПЛА висит в воздухе неподвижно (по оси ) в горизонтальном положении:

Таким образом, значение управляющего сигнала определяется как

где — масса квадрокоптера, — сила тяжести и — коэффициент тяги моторов. Подробнее с исходной нелинейной моделью квадрокоптера (а так же с ее выводом) вы можете ознакомиться в [1].

Для линеаризации системы разложим правую часть системы в отклонениях от положения равновесия в ряд Тейлора как функцию нескольких переменных и отбросим нелинейные слагаемые. В результате получим следующую систему ОДУ:

,(3)

где — коэффициенты аэродинамического сопротивления, l — расстояние от центра масс квадрокоптера до моторов, — моменты инерции, — коэффициент крутящего момента моторов.

Переходя от линейной системы (3) к системе в пространстве состояний (4), получим модель квадрокоптера с 4 входами (управляющие сигналы для каждого из моторов) и 6 выходами-измерениями.

(4)

,

.

Передаточная матрица системы в данном случае будет иметь размерность , что, несомненно, вызывает определенные сложности при дальнейшей работе с моделью. Наложив некоторые ограничения на вид управляющего сигнала, можно разделить MIMO-систему на SISO-подсистемы, работать с которыми определенно проще.

Предположим, что квадрокоптер неподвижно весит в воздухе. Величина управляющего сигнала в данном случае одинакова для каждого мотора и равняется, как было выяснено ранее, . Как видно из (3), чтобы, не потеряв горизонтального положения (), изменить лишь высоту, необходимо изменить управляющий сигнал для каждого мотора на одинаковую величину (обозначим ). Если же поставлена задача изменить лишь угол крена , то достаточно изменить и на одинаковую величину с разным знаком. Аналогичная ситуация и с углом тангажа — необходимо изменить на одинаковую величину с разным знаком управляющие сигналы для первого и третьего моторов. Для управления углом рысканья будем изменять мощности моторов на одинаковую величину в разную сторону, если они находятся на разных осях квадрокоптера. Таким образом, замена для вектора будет иметь вид:

.(5)

Подставив (5) в систему (3), получим в результате:

(6)

Рассмотрим теперь систему (6). Как можно заметить, при переходе к модели в пространстве состояний, возможна её декомпозиция на 6 SISO-подсистем:

, ,

,

.

Данные системы значительно удобнее использовать при работе с передаточными функциями, например, частотном анализе. Также, основываясь на вышеизложенных результатах, можно построить LQR-регулятор (с использованием асимптотических наблюдателей), который, к тому же, достаточно просто проверить на робастность.

Литература:

  1. Luukkonen T., Modelling and control of quadcopter, 2011, P.2–6.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle