Библиографическое описание:

Жалолов О. И. Об одной весовой оптимальной по порядку сходимости кубатурной формуле в пространстве // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 16-18.



Рассмотрим кубатурную формулу вида

(1)

над пространством Соболева , где -мерный единичный куб. Обобщённая функция

(2)

называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1),

является погрешностью кубатурной формулы (1), весовая функция, — характеристическая функция , и коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и — дельта-функция Дирака.

Определение. Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со степенью в норме

(3)

Справедлива следующая

Лемма. Если для функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) выполняется условие Декартовых произведений, т. е.

и - константы, (4)

т. е - константы, , (5)

то - константа, (6)

или ,

где , и .

Доказательство ведем методом математической индукции.

Пусть , тогда , ,, , , и .

Так как в дальнейшем мы будем использовать норму функции в одномерном случае то (3) при принимает следующий вид.

(7)

Таким образом, имеем

, (8)

Вычислим следующую норму

где — константа. (9)

Таким образом, из (8) и (9) получим:

(10)

Из (10), пользуясь определением нормы, получим

(11)

Учитывая (4), на основании (11), имеем

т. е. , где . (12)

Пусть теперь неравенство (6) справедливо при , тогда на основании приведенных выше вычислений, получим

Используя справедливость утверждения леммы при докажем, что утверждение выполняется при .Учитывая (12) при оценим погрешность кубатурной формулы вида (1)

. (13)

Отсюда, как и выше, пользуясь определением нормы функционала, получим

. (14)

Из неравенств (4) и (14) имеем:

(15)

С помощью этой леммы легко доказывается следующая теорема.

Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при и является оптимальной по порядку сходимости над пространством т. е. для нормы функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) имеет место равенство .

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974–808с.
  2. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Наука. 1988, — 333с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle