Библиографическое описание:

Никифорова А. А. Формализация и анализ математической модели взаимодействия участников коррупционной сделки // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 48-55.



В данной работе проводится анализ математической модели взаимодействия агентов коррупционного процесса в условиях неполной информации. Описан алгоритм нахождения нормальной формы игры с неполной информацией и оптимальных стратегий участников. Найдены средние ожидаемые выигрыши участников коррупционной сделки в конечно повторяющейся игре с неполной информацией. Анализ модели проведен с помощью инструментов теории игр с неполной информацией.

Ключевые слова: коррупционная сделка, игра с неполной информацией, средний ожидаемый выигрыш

Исследования в области описания коррупционных процессов с помощью построения математических моделей возникли в 70х годах 20ого века [3]. В работе рассматривается математическая модель взаимодействия участников коррупционной сделки в условиях асимметрии информации. Асимметрия информации означает, что один из участников обладает «большей» информацией или имеет доступ к ней в то время, как остальные участники обладают «меньшей» информацией или не обладают ей вовсе.

Постановка задачи

Рассматривается процесс заключения коррупционной сделки между агентами в условиях неполной информации.

Пусть:

— множество агентов, участвующих в коррупционной сделке.

— множество коррупционных эпизодов, возникающих в следствии асимметрии информации.

— множество стратегий - ого агента в коррупционном эпизоде .

— функция выигрыша - ого агента в коррупционном эпизоде .

Формализация модели

Рассматривается модель, в которой взаимодействуют два агента: коррумпированный Чиновник и Клиент. В процессе этого взаимодействия, Чиновник и Клиент заключают коррумпированную сделку, следуя которой Клиент платит Чиновнику сумму в определенном размере. Чиновник также заинтересован в получении взятки.

Следуя данной модели, Чиновник стремится максимизировать размер взятки, а Клиент стремится минимизировать размер предлагаемой взятки. Процесс заключения сделки между Чиновником и Клиентом проходит одним из двух способов: или . Каждый участник решает, каким именно способом он хочет провести сделку. Пусть буква «» означает, что сделка проводится первым способом, а буква «», что сделка проводится вторым способом. Если агенты решают провести сделку разными способами, то коррупционная сделка не совершается.

Неопределенность ситуации заключается в том, что размер взятки зависит от предпочтений Чиновника. Пусть Чиновник имеет два типа предпочтений . Пусть в роли коррупционных эпизодов выступают тип предпочтений Чиновника.

Рассмотрим два коррупционных эпизода и . В коррупционном эпизоде предпочтения Чиновника принадлежат к первому типу, а в принадлежат ко второму типу. Пусть тип предпочтений Чиновника принадлежит к первому типу с вероятностью равной .

Предполагается, что Клиент не осведомлен о предпочтениях Чиновника. Коррупционные эпизоды и представлены в виде игры в нормальной форме [4]. Числа в ячейках матрицы обозначают размер взятки, которую Клиент передаст Чиновнику (Таблица 1.).

Таблица 1

Клиент

Чиновник

3

0

0

0

Клиент

Чиновник

0

0

0

2

Представим коррупционные эпизоды и в развернутой форме в виде игры , где левая ветвь графа описывает коррупционный эпизод , а правая ветвь графа коррупционный эпизод (Рисунок 1.)

Рис. 1.

Оптимальные стратегии чиновника при совершении одной сделки

Значение игры и обозначены за и . Значение и . Таким образом, Чиновник гарантированно получает взятку размером 0, а Клиент гарантированно платит не более чем 0.

Рассмотрим нормальную форму игры (Таблица 2.), в которой Чиновник имеет 4 стратегии: {, , , }, в которых, например (), означает что Чиновник в коррупционном эпизоде выбирает стратегию , а в коррупционном эпизоде стратегию . [1] Клиент имеет только 2 стратегии {, }. В ячейках матрицы обозначены ожидаемые выигрыши Чиновника:

Пусть

Таблица 2

Клиент

Чиновник

Вторая строка в матрице игры (Таблица 2.) доминирует первую, третью и четвертую. Так как , то ожидаемый выигрыш Чиновника(значение игры) в игре обозначим за . Стратегия является оптимальной. [2]

На Рисунке 2. представлены оптимальные стратегии Чиновника и Клиента. Пунктир на Рисунке 2. означает, что Клиент не знает предпочтений Чиновника.

Рис. 2.

Стрелки на графе показывают оптимальные стратегии Чиновника и Клиента. Обозначим за — выигрыш Чиновника, если оба участника следуют оптимальным стратегиям в коррупционном эпизоде , а за — выигрыш Чиновника, если оба участника следуют оптимальным стратегиям в коррупционном эпизоде .

;

Напомним, что .

Оптимальные стратегии чиновника и клиента при совершении n- сделок

Рассмотрим коррупционный эпизод, в котором Чиновник и Клиент должны заключить несколько сделок в один день. Таким образом, коррупционный эпизод или будет повторяться — раз, где — количество сделок, совершенных в определенный день. Чиновник после совершения каждой сделки, Клиент будет точно знать какую стратегию выбрал Чиновник и объем взятки.

Рассмотрим случай, в котором Чиновник будет пользоваться оптимальными стратегиями, предписанными ему в , а именно, выбирать стратегию , если перед ним коррупционный эпизод и стратегию , если перед ним коррупционный эпизод . Если — номер сделки и если , тогда представляется в развернутой форме как (Рисунок 3.):

Рис. 3.

Клиенту известны стратегии и выигрыши Чиновника. Таким образом, если Чиновник при совершении первой сделки пользуется оптимальными стратегиями, то Клиент немедленно узнает предпочтения Чиновника.

Рассмотрим совершение второй сделки , в которой Клиент точно знает, какой перед ним коррупционный эпизод или (Рисунок 4.):

Рис. 4.

Ожидаемый выигрыш Чиновника в любой из двух ситуаций будет равен нулю.

Пусть — средний ожидаемый выигрыш Чиновника при совершении сделок в количестве , тогда:

(1)

где:

- количество совершаемых сделок;

- ожидаемый выигрыш Чиновника при совершении k-ой сделки, если Чиновник использовал стратегию , а Клиент стратегию ;

Таким образом, средний ожидаемый выигрыш Чиновника стремится к значению или .

Пусть рассматривается ситуация, в которой Чиновник игнорирует свои предпочтения в размере взятки. Выигрыши и стратегии Чиновника и Клиента остаются прежними и этот коррупционный эпизод обозначен как (Рисунок 5.):

Рис. 5. Игра

Нормальная форма (Таблица 3.), в которой Чиновник игнорирует свои предпочтения:

Таблица 3

Клиент

Чиновник

Таблица 4

Клиент

Чиновник

Таким образом, Чиновник будет выбирать стратегию с вероятностью , а стратегию с вероятностью . Клиент будет следовать тем же смешанным стратегиям (Таблица 4.). Обозначим за ожидаемый выигрыш Чиновника (значение игры ) в , тогда .

Обозначим за ожидаемый выигрыш Чиновника в игре , а за — ожидаемый выигрыш Чиновника в ситуации .

– Пусть –матрица выигрышей Чиновника в :

– Пусть –матрица выигрышей Чиновника в :

– Пусть - вектор смешанных стратегий Чиновника, а

- вектор смешанных стратегий Клиента.

Тогда, ; ;

; .

Рассмотрим случай, в котором Чиновник будет пользоваться стратегиями, описанными выше, в коррупционном эпизоде , тогда его средний ожидаемый выигрыш будет (). Так как -целое число, то при .

Напомним, что . Получаем , а .

Вывод: Если Чиновник игнорирует свои предпочтения в размере взятки, то при заключении коррумпированных сделок в количестве равном , его средняя ожидаемая прибыль от этих сделок, будет выше чем средняя ожидаемая прибыль, если бы Чиновник следовал своим предпочтениям.

Проверка секретности информации, доступной чиновнику, при совершении n сделок

Проверим, что Чиновник, пользуясь стратегиями, описанными в , гарантирует себе, что его предпочтения в размере взятки не станут известны Клиенту при совершении сделок в количестве n.

Рассмотрим коррупционный эпизод и со стороны Клиента. Пусть Клиент после совершения первой сделки, оценивает вероятность возникновения коррупционного эпизода и .

Клиент знает, что Чиновник будет выбирать стратегию с вероятностью , а стратегию с вероятностью . Клиент оценивает вероятность возникновениякоррупционного эпизода и , пользуясь формулами условной вероятности.

Рассмотрим стратегии Чиновника при совершении -ой сделки (Рисунок 6.). Пусть - вероятность, с которой Чиновник выбирает стратегию в коррупционном эпизоде , а - вероятность, с которой Чиновник выбирает стратегию в коррупционном эпизоде . - вероятность появления коррупционного эпизода .()

Рис. 6.

Рассмотрим первую коррупционную сделку, то есть (Рисунок 7.).

;

;

Рис. 7.

Таким образом, если после каждой коррупционной сделки, Клиент оценивает вероятность появления коррупционного эпизода и , то значения этой вероятности не будут отличаться от 1/3 и 2/3.

Вывод

В работе проведен анализ математической модели взаимодействия коррумпированного чиновника и клиента в условиях асимметрии информации. В роли информации в данной модели выступают вкусы и предпочтения одного из игроков. Рассмотрен конкретный пример и сделан вывод, что в конечно повторяющейся игре с неполной информацией игрок, обладающий информацией, должен действовать, не опираясь на свои предпочтения.

Литература:

  1. Guillermo Ordonez Notes on Bayesian Games URL: http://www.sas.upenn.edu/~ordonez/pdfs/ECON %20201/NoteBAYES.pdf
  2. Robert J. Aumann Repeated games with incomplete information Robert/J. Aumann and Michael B. Mashler with collaboration of Richard B. Strearns — MIT Press. 1995. — 323 p.
  3. Зенюк Д. А., Малинецкий Г. Г., Фаллер Д. С. Социальная модель коррупции в иерархических структурах // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2013. № 87. 27 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2013–87
  4. Петросян, Л. А. Теория игр / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич,
  5. Е. А. Семина. — М.: Высшая школа, 1998. — 304 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle