Библиографическое описание:

Маматова Н. Х., Норова М. Решение задачи для нормы функционала погрешности интерполяционной формулы в пространстве // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 31-32.



Предположим, что во множестве действительных чисел функция имеет локально суммируемые производные порядка , а также для интервала интеграл ограничен. Положим, что функция является периодической.

В пространстве рассмотрим интерполяционную формулу вида

.(1)

Здесь и параметры соответственно называются узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (1).

Разность называется погрешностью интерполяционной формулы (1). Значение этой погрешности в некоторой точке является линейным функционалом на функциях , т. е.

(2)

где — дельта-функция Дирака, ; здесь принимает все целые значения и

(3)

является функционалом погрешности интерполяционной формулы (1) и принадлежит пространству .

Пространство состоит из всех периодических функционалов (3), которые ортогональны к единице. На основании неравенства Коши-Шварца погрешность (2) формулы (1) оценивается с помощью нормы функционала погрешности (3). Следовательно, оценка погрешности интерполяционной формулы (1) на функциях пространства приводится к нахождению нормы функционала погрешности в сопряженном пространстве .

Таким образом, отсюда мы получаем первую задачу.

Задача 1. Найти норму функционала погрешности интерполяционной формулы (1) в пространстве .

В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая

Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности (3) определяется формулой

(4)

где является полиномом Бернулли, – константа.

Доказательство. Используем формулы преобразования Фурье, данный в [17]

Свертка двух функций определяется формулой

Применяя к обеим частям равенства (4) преобразование Фурье и используя известные формулы (см. [17])

получаем

(5)

Равенства (5) равна нулю в начале координат. Следовательно, обе части уравнения (5) делятся на .

Функция определяется из (5) до выражения

Таким образом, из (5) имеем

Отсюда, с учетом

и

получаем

Отсюда, используя определение полинома Бернулли , получим (4).

Теорема 1 доказана.

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974. -808 с.
  2. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle