Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Тошева Н. А. О спектре тензорной суммы интегральных операторов // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 64-66.



Пусть и — бесконечномерные гильбертовы пространства и их тензорное произведение [1,2]. Рассмотрим линейные ограниченные самосопряженные операторы и , действующие в и , соответственно. Обозначим через тензорное произведение [1] операторов и . Оператор также является линейным ограниченным самосопряженным оператором, действующим в гильбертовом пространстве . Положим где и — тождественные операторы в и , соответственно. Оператор мы будем называть тензорной суммой и , и будем обозначать через . Оператор также является линейным ограниченным самосопряженным оператором [1], действующим в гильбертовом пространстве .

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Для спектров операторов и верны равенства [1]:

и

.

Очевидно, что если и то .

В квантовой теории поля [3,4], физики твердого тела [5], а также в механике сплошных средств [6,7], аэродинамике [8] и других областях физики и механике встречаются частично–интегральные операторы вида

, (1)

действующие в гильбертовом пространстве квадратично–интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Здесь функции , непрерывны на , а функция непрерывна на .

Данная работа посвящена изучению существенного и дискретного спектров операторов в случае

,

где –вещественнозначные непрерывные функции на . Тогда оператор имеет следующий вид

.

Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле

, , .

Из определения операторов и , , получим, что оператор можно представит как тензорная сумма Здесь означает тождественный оператор в .

В данной работе будем изучать спектральные свойства оператора с помощью тензорной суммы операторов.

Видно, что

.

Поэтому , т. е. есть одномерный оператор.

Множество всех изолированных точек спектра самосопряженного оператора , за исключением собственных значений бесконечной кратности оператора , будем называть дискретным спектром оператора . Множество называется существенным спектром оператора .

Следующая лемма описывает спектра оператора .

Лемма 1.Для существенного спектра оператора , имеет места равенства . Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное .

Теперь сформулируем основной результат работы.

Теорема 1. Имеет место равенства

;

.

Доказательство. Как отметили выше из определения операторов и , получим, что оператор можно представит как тензорная сумма . Поэтому для спектра оператора имеем

.

В силу леммы 1 имеем

, .

Нетрудно видеть, что

;

.

Теорема 1 доказана.

В работе [9], модельный оператор, ассоциированный с системой трех частиц на -мерной решетке рассматривается как тензорная сумма моделей Фридрихса. Найден явный вид существенного и дискретного спектра этого модельного оператора.

Литература:

  1. М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики, Т. 1: Функциональный анализ. М.: Мир, 1977, 360 с.
  2. Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983, 392 с.
  3. В. А. Какичев, Н. В. Коваленко. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами. Укр. Мат. Журн. Т. 23, № 3, С. 302–312.
  4. К. О. Фридрихс. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969.
  5. A. I. Mogilner. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schroedinger operators: problems and results. AdvancesinSov. Math., — 1991, — V. 5, P. 139–194.
  6. В. М. Александров, Е. В. Коваленко. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986.
  7. V. M. Aleksandrov, E. V. Kovalenko. On some class of integral equations arising in mixed boundary value problems of continuous mechanics. SovietPhys. Dokl. — 1980, V. 25, N. 2, P. 354–356.
  8. А. С. Калитвин. О некотором классе частично интегральных уравнений в аэродинамике. Состояние и перспектива развития наук и технике под Липецком. –1994, С. 210–212.
  9. Т. Х. Расулов, Б. И. Бахронов. О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой ученый. № 9 (89), 2015, С. 17–20.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle