Библиографическое описание:

Худаяров С. С., Умуров Х. Х. Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2 // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 18-20.



Матрицы составляют основной аналитический аппарат для изучения линейных операций в –мерном пространстве [1]. В свою очередь изучение этих операций дает возможность разбить все матрицы на классы и выявить важные свойства, присущие всем матрицам одного и того же класса.

Известно, что при изучении спектральных свойств блочно-операторных матриц важную роль играют свойства собственных значений числовых матриц . Например, при оценке нижней границы блочно-операторных матриц с помощью соответствующей квадратичной числовой образа [2]. С этой целью в настоящей работе изложим некоторые важные свойств таких матриц.

Для рассмотрим матрицу

. (1)

При исследовании структуры матрицы большую роль играют векторы , для которых . Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа –собственными или характеристическими числами матрицы . Очевидно, что матрица имеет два собственных чисел с учетом кратности. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, всегда линейно независимы.

Сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема 1.Для собственных чисел , матрицы имеют места следующие:

(а) Если и , то

(1.1);

(1.2);

(1.3)

(б) Пусть и . Тогда

(2.1)

(2.2) если , то , если при этом

, то ;

(2.3) если и , то

, .

(в) Если и , то

,

.

Доказательство. (а) Пусть и . Предположим, что (в противном случае рассмотрим ) и

(2)

(в противном случае вместо берем ). Из условие (2) вытекает, что

.(3)

Собственные значения удовлетворяет уравнению

.

Мы рассмотрим как функция от и напишем

. (4)

Разложим вещественные и мнимые части

; .

Возводя на квадрат обе части равенства (4) и приравняв вещественные и мнимые части получим, что и удовлетворяют соотношение

;(5)

.(6)

Последняя уравнение показывает, что собственные значения лежат в гиперболе с центром и асимптотой и параллельно к вещественным и мнимым осям. Из тождества (5) следует, что при собственные значения заполняет правый ветвь из до , а собственные значения заполняет левый ветвь из до . Отсюда следует утверждение (1.1) и (1.2). Чтобы доказать утверждение (1.3) достаточно показать, что производное гиперболы в точках и по модулю меньше чем . Например, для производное в точке из (6) следует, что

,

которое, в силу (3), по модулю меньше чем .

(б) Доказывается аналогично.

(в) Пусть и . Построим характеристическое уравнение для .

Ясно, что нули этой уравнение, т. е. числа

; ,

являются собственными значениями матрицы .

Используя соотношение перепишем виде . Теперь простые вычисления показывают, что

. Таким образом

.

Совершенно аналогично показывается, что

.

Теорема 1 доказана.

Литература:

  1. Ф. Р. Ганхмахер. Теория матриц. — 4-е изд. –М.: Наука, 1988.
  2. C. Tretter.Spectral theory of block operator matrices and applications. — London:Imperial College Press, 2008.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle