Библиографическое описание:

Есбаев А. Н., Есенбаева Г. А., Смаилова А. А., Турсынгалиев Н. К. Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра второго рода при заданных условиях // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 7-10.



В статье рассмотрено интегральное уравнение Вольтерра второго рода с заданным ядром. Такого рода интегральные уравнения возникают при решении некоторых граничных задач для существенно-нагруженных дифференциальных параболических уравнений в неограниченной области.

Ключевые слова:интегральные уравнения Вольтерра второго рода, модифицированная функция Бесселя, неполная гамма-функция, обобщенная гипергеометрическая функция, символ Похгаммера.

При отыскании решений некоторых граничных задач для существенно-нагруженного дифференциального параболического уравнения естественным образом возникает необходимость исследования интегральных уравнений Вольтерра второго рода следующего вида [1]

, (1)

где — числовой параметр уравнения, — известная функция, определенная на промежутке , ядро интегрального уравнения (1) имеет вид

,

,(2)

, (3)

причем — модифицированная функция Бесселя, — числовой параметр, , — заданная, принимающая положительные значения функция, — искомая функция.

Функция определяет ядро интегрального уравнения (1). Вычислим функцию и представим различные ее интерпретации.

Учитывая, что [2]

при ; , где , , — символ Похгаммера, из (3) получим

,

. (4)

Подставив (4) в (2), получим следующее представление функции

.

Для функции , можно получить другое соотношение, используя интегральное представление модифицированной функции Бесселя [2]

. (5)

Учитывая, что [2]

при , , соотношение () преобразуем к виду

, (6)

, (7).

Так как [2]

, где ,

то

.

.

Учитывая нечетность и четность подынтегральных функций в первом и во втором интегралах последнего соотношения, получим

. Так как [80]

при ; ,

где — обобщенная гипергеометрическая функция, — вырожденная гипергеометрическая функция, , , — символ Похгаммера, , , то соотношение для примет вид

=

. (8)

Представление (6) с учетом (7) и (8) получим в виде

.

Учитывая свойства гамма-функции и бета-функции перепишем последнее соотношение для следующим образом

,

. (9)

Подставляя (9) в (3), получим следующее представление для функции

,

Используя различные представления функции ядра интегрального уравнения, исследуются вопросы разрешимости интегрального уравнения (1).

Литература:

  1. Есбаев А. Н., Есенбаева Г. А., Об одной граничной задаче для нагруженного дифференциального оператора теплопроводности при неподвижной точку нагрузки //Вестник Карагандинского государственного университета. Серия Математика. — 2013. — № 2. — С. 65–69
  2. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. Москва, 2003, 664 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle