Библиографическое описание:

Эшонкулов Х. И., Жураев З. Ш. Оценка нормы функционалов погрешности весовых кубатурных формул в пространстве Соболева // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 26-29.



В настоящей работе рассматривается наиболее распространенный вид кубатурной формулы [1]

(1)

в пространстве на поверхности сферы, где мерная единичная сфера, — интегрируемая функция по сфере , т. е.

и ,

где — сферическая гармоника порядка вида . Здесь индекс получен в результате нумерации сферических функций одного и того же порядка и меняется в пределах

— число линейно независимых сферических гармоник порядка . Функции будем считать ортогональными на сфере .

Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид:

, (2)

где — дельта — функция Дирака, и — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1).

Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].

Теорема 1. Норма функционала погрешности кубатурной формулы (1) над пространством равна

,

где

.

Доказательство. Известно [2], что если , то для абсолютной и равномерной сходимости ряда

,

где — сферические гармоники порядка , достаточно выполнение условия .

Таким образом, функция может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по сферическим гармоникам

, (3)

где — сферические гармоники порядка вида ;

; — число линейно независимых сферических гармоник:

.

Подставляя (3) в левую часть (1), находим

,

. (4)

Если в правой части (4) умножить на , а кубатурную сумму разделить на этот множитель и применить неравенство Коши, то получим

. (5)

Из (5) следует

. (6)

Для того чтобы получить равенство (6) рассмотрим функцию

, (7)

где

. (8)

Так как для сферических функций имеет место оценка

max ,

то из определения (8) коэффициентов ряда (7) следует, что

.

Вычислив погрешность кубатурной формулы (3) для этой функции, получим следующее равенство:

. (9)

Сопоставляя (6) и (9) находим, что

,

где является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1), т. е. — функция Рисса для функционала погрешности , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Равенство (9) подтверждает, что

,

действительно, является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и , где - ортонормированная сферическая гармоника порядка , вида и - число линейно независимых сферических гармоник порядка .

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974. — 808 с.
  2. Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. — Ташкент: Фан, 1985.
  3. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle