Постановка проблемы оптимизации формул приближенного интегрирования в современном понимании выглядит как проблема отыскания минимума нормы функционала погрешности 
, заданного на некотором пространстве функций. Поэтому вычисление нормы функционала погрешности кубатурных формул на этих пространствах функций играют важную роль для построения оптимальных кубатурных формул [1–3].
Многомерные кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:
1) бесконечно разнообразны формы многомерных областей интегрирования;
2) быстро растёт число узлов интегрирования с увеличением размерности пространства.
Проблема 2) требует особого внимания для построения наиболее экономичных формул.
Существуют различные принципы построения кубатурных формул. Классический принцип, который относится к работе [1–3] и теоретико — функциональный принцип в теории приближенного интегрирования.
Настоящая работа ведется теоретико — функциональным подходом, поэтому ниже опишем необходимые сведения из этого подхода. Рассмотрим кубатурную формулу вида
где 
— некоторая область в Евклидовом пространстве 
, 
— коэффициенты (веса), а 
— узлы кубатурной формулы (1). Погрешностью кубатурной формулы (1) называется разность
(2)
где
(3)
, 
— дельта функция Дирака, 
— число узлов. В (2) и (3) 
— называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1).
Пусть функция 
принадлежит некоторому пространству Банаха 
, тогда 
будет функционалом из сопряженного пространства 
. Предполагается, что это пространство компактно вложено в пространство непрерывных функций, заданных в области 
:
Функционал 
заданный на 
линейный и непрерывный, а в силу условия (4) и ограниченный, т. е. имеем:
Из оценки (5) видно, что качество кубатурной формулы характеризуется нормой функционала погрешности, которая определяется формулой
и является функцией неизвестных коэффициентов и узлов. Поэтому для вычислительной практики полезно уметь вычислить норму функционала погрешности (6) и оценить ее. Отыскание минимума нормы функционала погрешности по 
и 
есть задача на исследование функции многих переменных на экстремум. Значения 
и 
, реализующие этот минимум, определяют оптимальную формулу. Таким образом, оптимальной кубатурной формулой мы будем считать такую, в которой при заданном числе узлов 
функционал погрешности имеет наименьшую норму.
Настоящая работа посвящена для функций n — переменных
, принадлежащих в пространстве 
, т. е.
, где 
— n мерных тор.
Определение 1. Множество 
, где 
, т.е дробная доля 
, называется n — мерным тором 
.
Определение 2. Пространство 
определяется как замыкание множества конечных рядов Фурье 
в полунорме 
, (7)
где 
и 
т. е. коэффициенты Фурье.
Рассмотрим кубатурную формулу.
,(8)
где 
— весовая функция, 
— коэффициенты и 
— узлы кубатурной формулы (8).
Кубатурной формулы (8) сопоставим обобщенную функцию
(9)
и назовем ее функционалом погрешности.
Здесь 
— функция Дирака и 
— характеристическая функция тора 
, т. е.
Задача построения наилучших кубатурных формул над пространством 
— это вычисление следующей величины:
, (10)
где 
— сопряжённое пространство к пространству 
.
Для оценки погрешности квадратурной формулы необходимо решить следующую задачу.
Задача 1. Найти норму функционала погрешности (9) данной кубатурной формулы (8). Сначала мы должны вычислить норму 
функционала погрешности 
в пространстве 
, а потом если требуется построить наилучшую кубатурную формулу, варьируя 
и 
, необходимо решить следующую задачу.
Задача 2. Найти такие значения 
и 
, чтобы выполнялось равенство (10).
В настоящей работе займёмся решением первой задачи для весовой кубатурной формулы (8), т. е. вычислением нормы 
функционала погрешности 
кубатурной формулы (8).
Справедливо следующая
Теорема. Для нормы функционала погрешности (9) кубатурной формулы (8) в пространстве 
имеет место следующего равенства
, (11)
где 
- произвольное действительное число.
Литература:
- Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. — 808с.
- Салихов Г. Н., Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985–104 с.
- Шарипов Т. Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования кандидатская диссертация. Ташкент 1975–102с.
