Библиографическое описание:

Дилмуродов Э. Б. Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3 // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 3-5.



В данной работе рассматривается симметричная трехдиагональная матрица размера 3х3. Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа.

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3].

Пусть множество комплексных чисел. В пространстве рассмотрим матрицу вида:

размера , где произвольные вещественные числа, а произвольные комплексные числа.

Положим:

;

;

.

Теорема 1. Если то , то

.

Доказательство. Найдем собственные числа матрицы . Для этого мы должны знать решение уравнения:

(1)

где . Приведем некоторые сведение о решение этих уравнений. Положим:

.

Возможны три случая:

  1. Если , то уравнение (1) имеет одно вещественное и два взаимно сопряженных комплексных решения.
  2. Если , то уравнение (1) имеет три вещественных решения и по крайней мере два из них равны:

при , числа ;

при , числа ;

при , числа является решениями уравнения (1). Здесь , т. е. из следует, что .

  1. Если ,то уравнение (1) имеет три разных решений следующего вида:

где

.

Используя свойства косинуса имеем . Заметим, что:

если , то уравнение (1) имеет два положительные и одно отрицательное решение;

если , то уравнение (1) имеет одно положительное и две отрицательные решения;

если , то все решения уравнении (1) являются вещественными тогда и только тогда когда .

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения

(2)

Найдем решение уравнения (2).

Делая замену переменных уравнение (2) перепишем в виде:

.

После простых вычислений имеем:

(3)

Обозначая

;

получим, что уравнение (3) имеет вид .

Решение этого уравнения имеет вид:

.

Здесь .

В этом случае решение уравнения (2) имеет вид:

.

Причем для имеет место соотношение .

Следовательно, имеет место равенство , где

.

Теорема доказана.

Литература:

  1. Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), pp. 314–316.
  2. Heydari M. T. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), pp. 139–143.
  3. Langer H., Markus A. S., Matsaev V. I., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), pp. 89–112.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle