Библиографическое описание:

Фатеев Д. С., Сабурова В. В., Клочков К. С. Функции Бесселя // Молодой ученый. — 2016. — №9. — С. 23-26.



Функции Бесселяв математике — семействофункций, являющихся каноническими решениямидифференциального уравненияБесселя:

где — произвольноевещественное число(в общем случае комплексное), называемоепорядком.

Функцию Бесселя индекса можно определить рядом:

где — гамма–функция Эйлера.

Функция Бесселя представима в виде:

Где:

(3)

По признаку Даламбера ряд сходится равномерно при всех , , где и — произвольные числа. Так как члены ряда представляют собой целые функции по переменной при фиксированном и по переменной при фиксированном , то является целой функцией при любом комплексном и целой функцией при любом фиксированном комплексном .

Все производные от функции как по переменной , так и по переменной ν могут вычисляться перестановкой суммирования и дифференцирования.

Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

Для классических уравнений Бесселя с неотрицательным параметром и ограниченными в нуле решениями существуют рекуррентные соотношения вида:

и эти соотношения могут быть получены из общего вида классического уравнения Бесселя (1).

Также можно получить еще пару рекуррентных отношений, но для трех функций Бесселя:

Функции Бесселя первого рода

Функции Бесселя первого рода представляются в виде:

Формальная замена на дает функцию Бесселя первого рода отрицательного индекса :

где —гамма-функция Эйлера.

Если функции (7) и (8) являются функциями целого индекса, , то их связывает линейное соотношение

то есть они линейно зависимы и не могут быть выбраны в качестве фундаментальной системы уравнения Бесселя.

Если же k не является целым числом, и линейно независимы.

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу , необходимо найти второе, линейно-независимое от , частное решение. Для этого вводится новая функция, называемая функцией Бесселя второго рода.

Функции Бесселя второго рода

Функция Бесселя второго рода имеет вид:

Эта функция является линейной комбинацией частных решений и , следовательно, она тоже является решением уравнения (1).

Функция Вебера (10) является решением уравнения (1) и при .

Очевидно, и являются линейно независимыми, следовательно, при любом образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Тогда решение уравнения (1) можно представить в виде их линейной комбинации:

Свойства

Продифференцируем по ряд

Справа получим:

  1. Для функций Бесселя верны следующие формулы дифференцирования:

  1. Для функций Бесселя верны следующие формулы приведения:

  1. Свойство ортогональности функций Бесселя

Для любого k и любых корней функции верно равенство

  1. Если -нуль функции , то

Пример краевой задачи

Требуется определить закон колебаний круглой мембраны. Математическая модель свободных колебаний круглой мембраны радиуса с закреплённым краем имеет вид следующей краевой задачи для определения поперечного смещения мембраны:

где и — заданные смещения и скорость различных участков мембраны в начальный момент времени соответственно.

Решение этой задачи представляется в виде:

где и — функции Бесселя первого и второго рода

Применение:

Функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

‒ Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

‒ Теплопроводность в цилиндрических объектах;

‒ Формы колебания тонкой круглой мембраны

‒ Распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.

‒ Скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси и др.

Литература:

  1. Зорич В. А. Математический анализ М.: ФАЗИС; Наука; Ч.I. — 1997, 568с.; Ч.II. — 1984, 640с.
  2. Зубов В. И. Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие / Сост.: В. И. Зубов. — М.: МФТИ, 2007. — 51 с.
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: 2-e изд., стер. — М.: Наука, 1969. — 288 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle