Библиографическое описание:

Расулов Т. Х. Описание существенного спектра матричной модели в фермионном пространстве Фока // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 25-27.



Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом квантовых частиц на целочисленной решетке. Их количество может быть неограниченным, как в случае моделей спин-бозонов [2,3] или ограниченным, как в случае урезанных моделей спин-бозонов [4,5].

В настоящей заметке рассматривается матричный модель , ассоциированный с системой, описывающий два одинаковых фермионов и одной частицы иной природы, взаимодействующих с помощью операторов рождения и уничтожения. Описан местоположение существенного спектра оператора через спектр обобщенной модели Фридрихса , т. е. выделены двухчастичная и трехчастичная ветви существенного спектра оператора и установлено, что существенный спектр состоит из объединения не более, чем трех отрезков.

Через обозначим -мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Пусть одномерное комплексное пространство, гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на , гильбертово пространство антисимметричных функций двух переменных, определенных на и стандартное фермионное пространство Фока над .

Положим

; .

Пространство называется “двухчастичным обрезанным” подпространством пространства . В настоящей работе исследуем модели соответствующих случаев . Для удобства положим

, , .

В гильбертовом пространстве рассмотрим следующую блочно-операторную матрицу

(1)

с матричными элементами , , :

;

;

.

Здесь - фиксированное вещественное число, и - вещественнозначные непрерывные функции на , а — «параметр взаимодействия».

В этих предположениях на параметры оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле (1) является ограниченным и самосопряженным. При этом сопряженный оператор к , и

.

Операторы и называются операторами уничтожения, а и называются операторами рождения

С целью изучения спектральных свойств оператора нарядус этим оператором рассмотрим еще один ограниченныйсамосопряженный оператор (обобщенная модель Фридрихса),который действует в как блочно-операторные матрицы

Заметим, что в операторе индекс означает возможное число фермионов в рассматриваемой системе.

Сначала напомним, что для и имеет место равенство

.

Обозначим

.

.

При этом надо отметить, что

Поэтому имеет место равенство

.

Основной результат настоящей работы является следующая теорема.

Теорема. Существенный спектр оператора совпадает с множеством , т. е. . Более того, множество представляет собой объединение не более чем трех отрезков.

Литература:

  1. C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Imperial College Press, 2008.
  2. H. Spohn. Ground states of the spin-boson Hamiltonian // Comm. Math. Phys., — 1989, — V. 123, — P. 277–304.
  3. M. Huebner, H. Spohn. Spectral properties of the spin-boson Hamiltonian // Ann. Inst. HenriPoincare, — 1995, — V. 62, — no. 3, — P. 289–323.
  4. Ю. В. Жуков, Р. А. Минлос. Спектр и рассеяние в модели «спин-бозон» с не более чем тремя фотонами // Теор. и матем. физика, — 1995, — Т. 103, — № 1, — С. 63–81.
  5. R. A. Minlos, H. Spohn. The three-body problem in radioactive decay: the case of one atom and at most two photons // Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations-Series 2, — 1996, V. 177, — P. 159–193.
  6. С. Н. Лакаев, Т. Х. Расулов. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Математические заметки. — 2003, — Т. 73, — № 4, — С. 556–564.
  7. S. Albeverio, S. N. Lakaev, T. H. Rasulov. On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics // Journal of Statistical Physics. — 2007, — V. 127, — no. 2, — P. 191–220.
  8. Т. Х. Расулов. О структуре существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Математические заметки. — 2008, — Т. 83, — № 1, — С. 78–86.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle