Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш., Аймбетова М. Т., Пирова Г. К. О пространствах A2-ядер // Молодой ученый. — 2016. — №7.1. — С. 1-4.



Пусть g классическая алгебра Ли надалгебраически замкнутым полем k положительной характеристикиp. Ее можно рассматривать как алгебру Ли простой односвязнойалгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем kхарактеристики p>0. Пусть T максимальный тор в G,B T подгруппа Бореля группы G, соответствующаяотрицательным корням, U унипотентный радикал B. Алгебры Ли

B и U соответственно обозначим черезu иb. Ядро морфизма Фробениуса, рассматриваемое как ядроморфизма групповых схем, обозначается через G1. Известно, чтотеория представления G1 и теория представления алгебры Лиg группы G эквивалентны.

Обозначим через Ф систему корней группы G относительно(G,T). Множество положительных и отрицательных корнейсоответственно обозначим через Ф+ и Ф-, и пусть множество простых корней. Для системы корней ранга, пусть - простые корни и – фундаментальные веса. Обозначим целочисленную решетку весов, порожденную фундаментальными весами, через X(T) (аддитивная группа характеров максимального тора T) и пусть X+(T) множество доминантных весов, X1(T)

множество ограниченных весов.

Скалярное произведение на евклидовом пространстве E, порожденное системой корней Ф, обозначается через . Двойственным к Фкорнем является

Пусть - максимальный корень, и -максимальный короткий корень. Действие группы Вейля W системы Ф на группу характеров X(T) определяется по правилу, где Если обозначить полусумму положительных корней через , то другое действие группы Вейля, часто используемое в теории представлений, задается по формуле, где

Аффинная группа Вейля порождается всеми аффинными отражениями , где, nZ. В дальнейшем мы будем пользоваться действием на X(T), определяемым формулой

Для любого существует одномерный B-модультогда и только тогда, когда Пусть V()

модуль Вейля над G со старшим весом , тогда , т.е. индуцированный модуль является G-модулем, двойственным модулю Вейля со

старшим весом –w0(). При этом простой G-модуль L() будет простым цоколем или простым фактор-модулем V() по максимальному подмодулю.

Пусть V- рациональный G-модуль. Обозначим через V(r) скручивание Фробениуса V степени r. Более того, существует единственный r1, такой, что V(-r) есть G-модуль, на котором G1 действует нетривиально.

Для доказательства основного результата мы будем использовать условие коцикличности для 2 и 3коцепей. При n=2,3 условие коцикличности записывается соответственно

+

Теорема. Пусть g – классическая алгебра Ли типа A2 над алгебраически замкнутым полем k характеристики p>3 и V - неприводимый модуль. Тогда , кроме следующих случаев:

(a) V=L(0): dimH3(g,V)=1;

(b) V=L(p-3)λ1: dim H3(g,V)=3;

(c) V=L(p-3) λ2: dim H3(g,V)=3;

(d) V=L(p-2)( λ1+ λ2): dim H3(g,V)=8.

Доказательство. (a) V=L(0). Подпространство (g,V) восьмимерно и порождается векторами h1*۸ e1* ۸f1*,h*2۸ e1*۸f1*, h1*۸ e2* ۸f2*,h*2۸ e2*۸f2*,

h1*۸ e3* ۸f3*,h*2۸ e3*۸f3*, e3*۸ f1* ۸f2*,e*1۸ e2*۸f3*.

Предположим, что линейная комбинация этих векторов соответственно с коэффициентами bi, i=1,……,8 является 3-коциклом. Тогда из условия коцикличности (2) следует, что

Подпространство решений этой линейной системы относительно bi, i=1,……,8, трехмерно. Следовательно dimZ3(g,V) =3.

Подпространство (g,V) 4- мерно и порождается векторами h1*۸ h2* , e1* ۸f1*, e*2۸ f2*, e3f3*, если а1h1*۸ h2*+ a2e*1۸ f1*+a3e*2۸ f2*+ a4e*3۸ f3* €, то согласно (1)

(4)

Следовательно, dim

Таким образом по формуле размерности, dim,H3(g,V) = dimdimdim

(b) V=L((p3)1). Согласно определению,

V((p-3)1= (5)

и очевидно, что L((p-3)1V((p-3)1).

Пространство (g,V) шестимерно и порождается векторами

Предположим, что линейная комбинация этих векторов соответственно с коэффициентами b i,i=1,2,…,6, является 3-коциклом. Тогда, используя условия коцикличности (2) для всех возможных четверок базисных векторов алгебры Ли (их количество равно 70), получим: b2=b5=0 и b3=b4. Следовательно, dim(g,V)=3.

(g,V) трехмерно и порождается векторами

Условие коцикличности (18) тривиально относительно каждого их этих 2-коцепей. Тогда

(g,V)=(g,V) и dim(g,V)=3.

Наконец, по формуле (2), dimH3(g,V)= dim(g,V)+ dim(g,V)- dim(g,V)=

3+3-3=3.

Утверждение (c) доказывается совершенно аналогично предыдущему

утверждению.

Теперь докажем утверждения (d). Пусть V=L((p-2)(1)+2). Так как в модуле Вейля

V((p-2)(1+2) с векторами работать сложно, мы будем доказывать это утверждение иначе чем предыдущие утверждения. Согласно лемме 3, имеет место следующая короткая точная последовательность G-модулей:

Рассмотрим соответствующую длинную когомологическую точную

последовательность G-модулей:

Известно, что Тогда,

Кроме того H2(g,L(0))=0 [17] и H0(1+2)=L(1+2) (p>3). Поэтому отображение

является эпиморфизмом. Тогда, из последней длинной когомологической последовательности получим изоморфизм G-модулей По формуле Вейля dimH0(1+2)=8.

Теперь докажем, что для модулей V=L((p-2)1+2), L(1+(p-2)2) когомологии степени 3 тривиальны.

Пусть V=L((p-2)1+2). Докажем, что H3(g,V)=0. Тривиальность H3(g,L(1+(p-2)2)) следует из взаимной сопряженности модулей V и L (1+(p-2)2). Имеем:

dim(g,V)=42 и Как циклический G-модуль пространство H3(g,V) порождаются старшим вектором (когомологическим классом) веса

p1, так как p1 является единственным доминантным весом из Поэтому достаточно показать, что Результаты соответствующих вычислений приведены в таблице1.

Таблица1

n

dim(g,V)

dim(g,V)

dim(g,V)

1

2

1

1

2

7

1

0

3

14

6

0

Согласно этой таблице, dim(g,V)=0. Доказательство предложения 1 завершено.

Литература:

  1. Andersen H. H., Jantzen J. C. Cohomology of induced representations for algebraic groups, Math. Ann. 1984. Vol. 269. P. 487 525.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle