Библиографическое описание:

Бодров Е. Н., Царькова Е. Г. Математическая модель управления обучением и её решение методами оптимального управления и нелинейного программирования // Молодой ученый. — 2016. — №4. — С. 1-4.

 

Математическое моделирование социальных процессов, решение задач оптимального управления и планирования приобретают всё большую актуальность в настоящее время в самых разнообразных сферах человеческой деятельности ([1], [2], [3]). К таким моделям можно отнести задачу управления процессом обучения, предложенную в работе [3], где, в том числе, приводится её аналитическое решение. Однако при малейшей модификации модели решение её лишь с помощью аналитического аппарата может стать затруднительным. В статье [4] показано, как данная задача может сформулирована в виде задачи оптимального управления, а также нелинейного программирования, для решения которых разработан ряд эффективных вычислительных алгоритмов ([1]). Целью данной работы является описание и исследование алгоритма численного решения задачи управления обучением студенческого коллектива, формализуемой как задача оптимального управления.

Исследуется задача распределения времени между овладением знаниями и развитием умений. Пусть знание состоит из информации (чистого знания) и умения (практического навыка использовать имеющиеся знания для решения новых задач). Полагаем – объем сведений, которыми овладел студент к моменту времени t (чистое знание),  — объем отработанных умений решать задачи; – та часть (доля) времени, которую педагог отводит на накопление у студентов знаний в промежутке времени . Увеличение вычисляется по формуле:

,(1)

где k1 > 0 — коэффициент, характеризующий индивидуальные способности учащегося.

Увеличение практических навыков определяется уравнением:

,(2)

где > 0 — коэффициент, аналогичный k1.

Требуется найти управление из [0;1], которое позволит получить студенту максимальный объем знаний за заданное время T. Заменяя: , , получаем задачу оптимального управления:

,(3)

, ,(4)

, ,(5)

, .(6)

Дискретная задача, аппроксимирующая (3)-(6) с точностью , имеет вид:

,

, , , ,

.(7)

Введем функцию

В работе [4] показано, что сопряженные переменные могут быть вычислены по формулам:

,

, .(8)

Алгоритм метода проекции градиента для решения задачи (7)

  1. Задаем начальное приближение управления , ;
  2. Вычисляем : , ,

, ;

  1. Находим ;
  2. Определяем : ;

,

  1. Вычисляем производную функции L по управлению:

;

  1. Задаем начальное значение шага и организуем цикл по шагам градиентного спуска;
  2. Находим управление , соответствующее (k+1)-ой итерации, по формуле:

.

Для новых значений управления проверяем условия выполнения ограничений , . Если условие для некоторого узла i не выполняется, то проецируем управление на допустимое множество.

  1. Вычисляем соответствующие этому управлению траектории :

,, , ;

  1. Вычисляем очередное приближение целевой функции:

;

  1. Проверяем условие монотонности в методе градиентного спуска. Если , то уменьшаем шаг градиентного спуска и переходим к шагу 7, иначе полагаем и переходим к шагу 11.
  2. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока не становится достигнутой заданная точность вычислений. Если , то идем к шагу 12, иначе полагаем и повторяем вычисления, начиная с шага 7 алгоритма. Здесь - необходимая точность вычисления функционала.
  3. - решение задачи.

Данный алгоритм реализован в среде Borland Delphi, при этом решение задачи построено при выборе параметров: , q=1000, T=1. Результаты численных расчетов приведены на рис.1–3, оптимальное значение функционала , количество итераций метода .

Рис. 1. График

 

Рис. 2. График

 

Рис. 3. График

 

Результаты численного решения соответствуют следующей организации учебного процесса: на первом этапе нарабатываются практические навыки, опираясь на пройденный материал; далее отношение лекций к практическим занятиям следующее: одной лекции соответствует два семинара; и, наконец, на заключительном этапе проводятся лекции без проработки на практических занятиях. Численное решение задачи совпадает с аналитическим, полученным в [3]. Заметим, что приведенный алгоритм с применением средств ЭВМ открывает широкие возможности для исследования различных модификаций рассматриваемой модели.

 

Литература:

 

  1.      Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.
  2.      Неуймин Я. Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика. — Л.: Наука, 1984. -190 с.
  3.      Орлов А. И. Менеджмент. Учебник. М.: Издательство «Изумруд», 2003. — 298 с.
  4.      Цветкова Е. Г., Царьков В. В. Решение задачи об управлении обучением студенческого коллектива // Молодой ученый. — 2010. — № 11. Т.1. — С. 40–42.
Основные термины: оптимального управления, обучением студенческого коллектива, управления обучением, задачи оптимального управления, решение методами оптимального, задачи управления обучением, решение задач оптимального, задача оптимального управления, нелинейного программирования, Численное решение задачи, модель управления обучением, численного решения, модификации модели решение, управлении обучением студенческого, задачу управления процессом, знаниями и развитием умений, аналитическое решение, Результаты численного решения, решения новых задач, к практическим занятиям следующее

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle