Математическая модель управления обучением и её решение методами оптимального управления и нелинейного программирования

Математическое моделирование социальных процессов, решение задач оптимального управления и планирования приобретают всё большую актуальность в настоящее время в самых разнообразных сферах человеческой деятельности ([1], [2], [3]). К таким моделям можно отнести задачу управления процессом обучения, предложенную в работе [3], где, в том числе, приводится её аналитическое решение. Однако при малейшей модификации модели решение её лишь с помощью аналитического аппарата может стать затруднительным. В статье [4] показано, как данная задача может сформулирована в виде задачи оптимального управления, а также нелинейного программирования, для решения которых разработан ряд эффективных вычислительных алгоритмов ([1]). Целью данной работы является описание и исследование алгоритма численного решения задачи управления обучением студенческого коллектива, формализуемой как задача оптимального управления.

Исследуется задача распределения времени между овладением знаниями и развитием умений. Пусть знание состоит из информации (чистого знания) и умения (практического навыка использовать имеющиеся знания для решения новых задач). Полагаем – объем сведений, которыми овладел студент к моменту времени t (чистое знание),  — объем отработанных умений решать задачи; – та часть (доля) времени, которую педагог отводит на накопление у студентов знаний в промежутке времени . Увеличение вычисляется по формуле:

,(1)

где k1 > 0 — коэффициент, характеризующий индивидуальные способности учащегося.

Увеличение практических навыков определяется уравнением:

,(2)

где > 0 — коэффициент, аналогичный k1.

Требуется найти управление из [0;1], которое позволит получить студенту максимальный объем знаний за заданное время T. Заменяя: , , получаем задачу оптимального управления:

,(3)

, ,(5)

, .(6)

Дискретная задача, аппроксимирующая (3)-(6) с точностью , имеет вид:

,

, , , ,

.(7)

Введем функцию

В работе [4] показано, что сопряженные переменные могут быть вычислены по формулам:

,

Алгоритм метода проекции градиента для решения задачи (7)

1. Задаем начальное приближение управления , ;
2. Вычисляем : , ,

, ;

3. Находим ;
4. Определяем : ;

,

5. Вычисляем производную функции L по управлению:

;

6. Задаем начальное значение шага и организуем цикл по шагам градиентного спуска;
7. Находим управление , соответствующее (k+1)-ой итерации, по формуле:

.

Для новых значений управления проверяем условия выполнения ограничений , . Если условие для некоторого узла i не выполняется, то проецируем управление на допустимое множество.

8. Вычисляем соответствующие этому управлению траектории :

,, , ;

9. Вычисляем очередное приближение целевой функции:

;

10. Проверяем условие монотонности в методе градиентного спуска. Если , то уменьшаем шаг градиентного спуска и переходим к шагу 7, иначе полагаем и переходим к шагу 11.
11. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока не становится достигнутой заданная точность вычислений. Если , то идем к шагу 12, иначе полагаем и повторяем вычисления, начиная с шага 7 алгоритма. Здесь - необходимая точность вычисления функционала.
12. - решение задачи.

Данный алгоритм реализован в среде Borland Delphi, при этом решение задачи построено при выборе параметров: , q=1000, T=1. Результаты численных расчетов приведены на рис.1–3, оптимальное значение функционала , количество итераций метода .

Рис. 2. График

Рис. 3. График

Результаты численного решения соответствуют следующей организации учебного процесса: на первом этапе нарабатываются практические навыки, опираясь на пройденный материал; далее отношение лекций к практическим занятиям следующее: одной лекции соответствует два семинара; и, наконец, на заключительном этапе проводятся лекции без проработки на практических занятиях. Численное решение задачи совпадает с аналитическим, полученным в [3]. Заметим, что приведенный алгоритм с применением средств ЭВМ открывает широкие возможности для исследования различных модификаций рассматриваемой модели.

Литература:

1.      Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.
2.      Неуймин Я. Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика. — Л.: Наука, 1984. -190 с.
3.      Орлов А. И. Менеджмент. Учебник. М.: Издательство «Изумруд», 2003. — 298 с.
4.      Цветкова Е. Г., Царьков В. В. Решение задачи об управлении обучением студенческого коллектива // Молодой ученый. — 2010. — № 11. Т.1. — С. 40–42.