Библиографическое описание:

Шорохов С. Г., Буурулдай А. Э. Построение волатильности по заданной плотности распределения базового актива // Молодой ученый. — 2016. — №4. — С. 4-8.

 

В статье рассматривается нахождения волатильности по заданной плотности распределения. Волатильность представляет собой меру риска использования финансового инструмента за заданный промежуток времени. Для решения поставленной задачи требуется решить дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП).

Ключевые слова: опцион; волатильность; риск-нейтральность; дериватив.

 

Моделирование цен производных ценных бумаг является основой финансовой экономики и, в частности, теорий управления инвестиционным портфелем и оценки финансовых инструментов. В начале 1970-х годов Фишер Блэк (Fisher Black), Майрон Шоулз (Myron Scholes) и Роберт Мертон (Robert Merton) сделали фундаментальное открытие в теории ценообразования фондовых опционов [1, c.397]. Согласно модели Блэка-Шоулза-Мертона (БШМ), ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности ожидаемой рынком. На практике модель Блэка-Шоулза применяется немного не так, как это предполагали их первооткрыватели, поскольку волатильность цен может зависеть от цены акции и времени, оставшегося до истечения срока опциона. Из-за этого недостатка в модели Блэка-Шоулза, люди стремятся найти такую модель, которая включает в себя изменчивость подразумеваемой волатильности. Однако поиск новой модели до сих пор продолжается. В 1994 году известный ученый Бруно Дюпире [2, с. 128] вывел формулу, которая позволяет вычислить волатильность для европейских опционов колл. При выводе формулы Дюпире утверждается, что функция представляет собой плотность распределения, соответствующего рассматриваемому стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ).

В настоящей работе предлагается построение обратной задачи определения волатильности.

Формула БШМ выглядит следующим образом:

 

где

u(t, S) цена любых деривативов на базовый актив S(t);

r>0 безрисковая процентная ставка;

- волатильность.

Стоимость европейского опциона описывается следующей формулой [1, c. 450]:

где

N(d) — это интегральная функция стандартизированного нормального распределения;

r >0 безрисковая процентная ставка;

K цена исполнения;

S цена акции;

T-t время до истечения срока опциона.

Если известна стоимость европейских опционов c(T, K) для всех сроков погашения T и всех цен-страйк K, то для функции волатильности σ справедлива формула Дюпире

в которой для нахождения значения функции волатильности делается замена переменных T, K на переменные t, S.

Теперь рассмотрим СДУ

dS = μ ⋅ S ⋅ dt + σ ⋅ S ⋅ δ W, μ ∈ R, σ ∈ R (4)

с начальным условием

(5)

где

S стоимость акции;

μ — ожидаемая доходность акции;

W — стандартный винеровский процесс (броуновское движение).

Пусть при случайная величина S(t) имеет плотность распределения . Начальное условие (5) для СДУ означает, что при

где  — математическое ожидание и диссперсия.

Таким образом, плотность распределения должна удовлетворять следующим условиям при

 

Проверим выполнение этих условий для плотности логнормального распределения, возникающего в модели БШМ, а именно, когда

при x>0 и =0 при x≤0,

m=ln(, s=𝜎

Первый интеграл имеет вид

Сделаем замену переменной , тогда нижний и верхний пределы интегрирования по переменной будут равны -∞ и +∞ соответственно. Следовательно,

Далее

Итак, первый интеграл при

Второй интеграл имеет вид

При замене переменной имеем ,

нижний и верхний пределы интегрирования по переменной ζ будут равны -∞ и +∞ соответственно. Следовательно,

Далее

Итак, второй интеграл при

Таким образом, мы убедились, что условия (6) и (7) выполняются.

Далее рассмотрим следующую задачу: по заданной для любого t > плотности распределения , удовлетворяющей условиям (6) и (7), найти волатильность 𝜎(t, S), для которой СДУ (4) с начальным условием (5) имеет в качестве решения случайный процесс S(t) с плотностью распределения .

Пусть c(t, S) — цена европейского опциона колл на актив S(t), тогда c(t, S) удовлетворяет уравнению (1) при этом в риск-нейтральном мире,

т. е.

или

по формуле Дюпире (3) стоимость опциона и плотность связаны соотношением

Для решения поставленной задачи нужно решить ДУЧП (8) и подставить полученные решения в формулу (3).

Общее решение уравнении с использованием формулы гомотопии [3, с. 96] может быть записано в виде:

где  — произвольные функции, не зависящие от K.

Далее, определим величины , .

Теперь полученные значения подставляем в формулу Дюпире

Мы получили формулу, которая позволяет нам вычислить меру риска европейского опциона колл для любого заданного распределения. Данная формула может помочь трейдерам предсказать будущее движение цен, а также определить уровень риска.

 

Литература:

 

  1.      Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты, 6-е издание. ДжонК. Халл, 518стр
  2.      Bruno Dupire. Pricing with a smile. Risk, 7(1):18–20, 1994. Reprinted in Derivative Pricing:The Classical Collection, Risk Books (2004)
  3.      Вариационные принципы для непотенциальных операторов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1992. — Т. 40. С.3 -178. (Соавторы В. М. Филиппов, В. М. Савчин).
Основные термины (генерируются автоматически): непараметрических оценках плотности, оценках плотности вероятности, кривой регрессии, плотности распределения, плотность распределения, и верхний пределы интегрирования, функции волатильности, европейского опциона колл, нижний и верхний пределы, плотности распределения базового, нахождения волатильности, задачи определения волатильности, Построение волатильности, базового актива, значения функции волатильности, европейских опционов, меру риска, уровень волатильности, Похожая статья, плотность распределения должна.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle