Библиографическое описание:

Ядгаров У. Т. О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах // Молодой ученый. — 2016. — №2. — С. 280-282.



 

Диссипация энергии упругой волны будет происходить в том случае, если для напряжения и деформации появляются временные производные напряжения деформации. Даже если уравнение линейно относительно напряжения и деформации, наличие временных производных всегда вязано с диссипацией. В результате при переменном напряжении возникает эффект гистерезиса. Это означает, что в диапазоне частот, в котором затухание имеет заметную величину, деформация остаётся от напряжения.

Наличие только нелинейной связи между напряжением и деформацией (без временных производных в уравнении) вызывает два эффекта. Такая связь, во-первых, приводит к взаимодействию рассматриваемой упругой волны с другими волнами (например, с тепловыми колебаниями), и в результате происходит перераспределение энергии между волнами во — вторых, рассматриваемая волна будет генерировать более высокие гармоники, передавая им свою энергию. В обоих случаях взаимодействие зависит от амплитуды деформации.

Нелинейная связь между напряжением и деформацией при наличии временных производных приводит также затуханию, зависящему от амплитуды деформации.

Рассмотрим частную задачу о прохождении волн большой длины в упругой среде, содержащей малую объёмную долю жёстких сферических включений, обобщенное перемещение для волнового движения в упругой среде можно записать в сферических координатах в виде:

,

где φ и ψ- скалярные величины, которые удовлетворяют волновому уравнению, — единичный вектор. Падающая волна определяется в виде

.

Здесь 0 — амплитуда падающей волны;  — круговая частота, 1 — скорость распространения продольных волн. Теперь обратимся к случаю

ρь >> ρm, т.екогда плотность материала включений на много больше плотности окружающей их среды. Действующие силы можно записать в виде:

, (1)

где ; .

Подставив (1) в уравнение движения и записав результат через производные по времени, получим:

. (2)

Последний член характеризует упругую энергию, подобную энергии пружины, а скоростные члены в (2) описывают явление диссипации энергии из — за рассеяния энергии волн

;.

Первый член характеризует коэффициент затухания, а второй собственные частоты. Выражение для скорости рассеяния энергии можно представить в виде:

,

где  — соответственно компоненты по теории напряжений и смещений. Задача исследования скорости рассеяния сводится к решению трансцендентного уравнения. Выражение отражённой волны через потенциалы перемещений можно записать в виде:

;

;

;.

Здесь  — скорость сдвиговой волны; Рn (cosθ) — полиномы Лежандра; Hn (αr), Hn (βr) — сферические функции Бесселя. Коэффициенты An и Bn должны быть определены из граничных условий на поверхности жёсткой сферы, т. е. из требования непрерывности перемещений: Ur = U (t) cosθ,

Uθ = (t) sinθ, где U (t) — перемещение среды. Напряжения на поверхности сферы также должны быть связаны с уравнением её движения следующим образом:

,

где а — радиус и  — плотность сферического выключения. Перемещение сферы в рассматриваемой задаче должно быть гармоническим: U (t) = U eiωt При условии большой длины волны в (1), сила выражается следующим образом:

(3)

,

где  — плотность окружающей частицу упругой среды, V0 — объём включения, U(xi,t) — движение среды. Осциллирующие поведение коэффициента рассеяния показывает, что рассеяния можно отнести к своего рода резонансным явлениям.

При радиальных колебаниях упругого шара и включающей его среды, когда частотные уравнение имеет вид

(4)

где - безразмерная частота - отношение продольных скоростей вне и внутри шара,  — соответствующей отношение плотностей и  — параметр определяемые размерностью модулей сдвига вещество включения и вмещающей среды. Комплексное трансцендентное уравнение (4) определяет набор комплексных собственных значений . При этом действительная часть каждого из них определяет собственную частоту колебаний, а мнимая соответствующей декремент затухания.

Решение уравнения (4) в общем случае довольно сложно. При конкретных значениях параметров α, β, η его можно решать численно. Однако есть довольно интересный с геофизической точки зрения предельный случай, когда свойства неоднородности и вмещающей среды отличается не очень сильно. При этом, вообще говоря, наиболее сильно различаются модули сдвига, а в меньшей степени скорости продольных волн, и наименее сильно различаются плотности.

Измерения частот и декремент затухания собственных колебаний в зависимости изменения параметров α, β, η приведены в таблице.

 

β

α и η

 

α= η=I

Η =I, α=I,12

η=I, 02; α=I,12

0,06

3,5145

2,0452

1,4635

1,6187

1,4282

1,5364

0

Неопределённость

1,4152

1,3475

1,3867

1,2759

-0,05

1,5474

1,9392

1,3534

1,1179

1,3295

1,0817

 

Здесь верхние цифры в каждой клетке есть значения собственной частоты. Нижние везде, за исключением клетки β=0,05, η =I. Как было сказано выше, α=I не является решением. При этих параметрах нетривиальной оказывается следующая мода колебаний. Добротность, определяемая отношением α/ β тем выше, чем больше отклонения параметров α и β от единицы, т. е. в случае отсутствия включения (когда  неопределённое). При этом оказываются более добротными включения с β = — 0,05 что соответствует примерно на 15 % боле жёсткому включению.

Однако, наибольшей добротностью обладает включение с β = — 0,05, η =I, α=I т. е. следует моде колебаний. Изменения частоты для моды происходит примерно с одинаковой степенью изменения параметров η и α. Однако имеет место сильная зависимость от α в случае β = — 0,05, η =I, α=I. Именно, при изменение α от 1,029 до 1,0385 β повышается практически от нуля до значения 1,25.

 

Литература:

 

  1.              И. И. Сафаров Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Изд. ''Фан'' Ташкент 1992.
  2.              С. С. Каюмов, И. И. Сафаров. Распространение и дифракция волн в диссипативно-неоднородных цилиндрических деформируемых механических системах. Ташкент: ФАН, 2004й., 218с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle