Диссипация энергии упругой волны будет происходить в том случае, если для напряжения и деформации появляются временные производные напряжения деформации. Даже если уравнение линейно относительно напряжения и деформации, наличие временных производных всегда вязано с диссипацией. В результате при переменном напряжении возникает эффект гистерезиса. Это означает, что в диапазоне частот, в котором затухание имеет заметную величину, деформация остаётся от напряжения.
Наличие только нелинейной связи между напряжением и деформацией (без временных производных в уравнении) вызывает два эффекта. Такая связь, во-первых, приводит к взаимодействию рассматриваемой упругой волны с другими волнами (например, с тепловыми колебаниями), и в результате происходит перераспределение энергии между волнами во — вторых, рассматриваемая волна будет генерировать более высокие гармоники, передавая им свою энергию. В обоих случаях взаимодействие зависит от амплитуды деформации.
Нелинейная связь между напряжением и деформацией при наличии временных производных приводит также затуханию, зависящему от амплитуды деформации.
Рассмотрим частную задачу о прохождении волн большой длины в упругой среде, содержащей малую объёмную долю жёстких сферических включений, обобщенное перемещение для волнового движения в упругой среде можно записать в сферических координатах в виде:
,
где φ и ψ- скалярные величины, которые удовлетворяют волновому уравнению,
— единичный вектор. Падающая волна определяется в виде
.
Здесь 0 — амплитуда падающей волны; — круговая частота, 1 — скорость распространения продольных волн. Теперь обратимся к случаю
ρь >> ρm, т.екогда плотность материала включений на много больше плотности окружающей их среды. Действующие силы можно записать в виде:
, (1)
где 
; 
.
Подставив (1) в уравнение движения и записав результат через производные по времени, получим:
. (2)
Последний член характеризует упругую энергию, подобную энергии пружины, а скоростные члены в (2) описывают явление диссипации энергии из — за рассеяния энергии волн
;
.
Первый член характеризует коэффициент затухания, а второй собственные частоты. Выражение для скорости рассеяния энергии можно представить в виде:
,
где 
— соответственно компоненты по теории напряжений и смещений. Задача исследования скорости рассеяния сводится к решению трансцендентного уравнения. Выражение отражённой волны через потенциалы перемещений можно записать в виде:
;
;
;
.
Здесь 
— скорость сдвиговой волны; Рn (cosθ) — полиномы Лежандра; Hn (αr), Hn (βr) — сферические функции Бесселя. Коэффициенты An и Bn должны быть определены из граничных условий на поверхности жёсткой сферы, т. е. из требования непрерывности перемещений: Ur = U (t) cosθ,
Uθ = (t) sinθ, где U (t) — перемещение среды. Напряжения на поверхности сферы также должны быть связаны с уравнением её движения следующим образом:
,
где а — радиус и 
— плотность сферического выключения. Перемещение сферы в рассматриваемой задаче должно быть гармоническим: U (t) = U eiωt При условии большой длины волны в (1), сила выражается следующим образом:
(3)
,
где 
— плотность окружающей частицу упругой среды, V0 — объём включения, U(xi,t) — движение среды. Осциллирующие поведение коэффициента рассеяния показывает, что рассеяния можно отнести к своего рода резонансным явлениям.
При радиальных колебаниях упругого шара и включающей его среды, когда частотные уравнение имеет вид
(4)
где 
- безразмерная частота 
- отношение продольных скоростей вне и внутри шара, 
— соответствующей отношение плотностей и 
— параметр определяемые размерностью модулей сдвига вещество включения и вмещающей среды. Комплексное трансцендентное уравнение (4) определяет набор комплексных собственных значений 
. При этом действительная часть каждого из них определяет собственную частоту 
колебаний, а мнимая соответствующей декремент затухания.
Решение уравнения (4) в общем случае довольно сложно. При конкретных значениях параметров α, β, η его можно решать численно. Однако есть довольно интересный с геофизической точки зрения предельный случай, когда свойства неоднородности и вмещающей среды отличается не очень сильно. При этом, вообще говоря, наиболее сильно различаются модули сдвига, а в меньшей степени скорости продольных волн, и наименее сильно различаются плотности.
Измерения частот и декремент затухания собственных колебаний в зависимости изменения параметров α, β, η приведены в таблице.
|
β |
α и η |
||
|
|
α= η=I |
Η =I, α=I,12 |
η=I, 02; α=I,12 |
|
0,06 |
3,5145 2,0452 |
1,4635 1,6187 |
1,4282 1,5364 |
|
0 |
Неопределённость ∞ |
1,4152 1,3475 |
1,3867 1,2759 |
|
-0,05 |
1,5474 1,9392 |
1,3534 1,1179 |
1,3295 1,0817 |
Здесь верхние цифры в каждой клетке есть значения собственной частоты. Нижние везде, за исключением клетки β=0,05, η =I. Как было сказано выше, α=I не является решением. При этих параметрах нетривиальной оказывается следующая мода колебаний. Добротность, определяемая отношением α/ β тем выше, чем больше отклонения параметров α и β от единицы, т. е. в случае отсутствия включения (когда неопределённое). При этом оказываются более добротными включения с β = — 0,05 что соответствует примерно на 15 % боле жёсткому включению.
Однако, наибольшей добротностью обладает включение с β = — 0,05, η =I, α=I т. е. следует моде колебаний. Изменения частоты для моды происходит примерно с одинаковой степенью изменения параметров η и α. Однако имеет место сильная зависимость от α в случае β = — 0,05, η =I, α=I. Именно, при изменение α от 1,029 до 1,0385 β повышается практически от нуля до значения 1,25.
Литература:
- И. И. Сафаров Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Изд. ''Фан'' Ташкент 1992.
- С. С. Каюмов, И. И. Сафаров. Распространение и дифракция волн в диссипативно-неоднородных цилиндрических деформируемых механических системах. Ташкент: ФАН, 2004й., 218с.
