Библиографическое описание:

Гайсина Р. Н. Законы сохранения нулевого и первого порядков для нелинейной системы уравнений Шредингера // Молодой ученый. — 2016. — №1. — С. 5-10.

 

Введение

В работе рассматривается система уравнений вида:

(1)

Частные случаи системы дифференциальных уравнений (1) рассматривались в статьях [1] — [3], в которых были получены условия, которым должна удовлетворять правая часть системы уравнений указанного вида, обладающей богатым набором законов сохранения.

В настоящей работе определены системы уравнений (1), которые обладают законами сохранения нулевого и первого порядков.

 §1. Закон сохранения нулевого порядка

В этом параграфе рассматривается система уравнений (1), которая обладает законом сохранения нулевого порядка:

(2)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Система уравнений (1), которая имеет закон сохранения нулевого порядка (3), точечными преобразованиями приводится к системе вида:

(3)

Доказательство.

Запишем закон сохранения нулевого порядка (2) в виде:

Перепишем последнее с учетом системы уравнений (1), а именно, заменим производные и .

Приравнивая при независимых переменных и получим следующую систему уравнений:

(4)

Рассмотрим случаи:

  1.               
  2.               
  3.                .

Пусть выполнен случай 1, то есть .

Тогда из первых двух уравнений системы (4), имеем:

.

Далее функцию запишем в следующем виде:

или , где .

Сделаем точечную замену:

(5)

Тогда система уравнений (1) согласно (2) примет вид:

(6)

где .

Отметим, что система (6) имеет закон сохранения нулевого порядка (2), имеющий вид: .

Рассмотрим второй случай, когда .

Если , то из (4) следует, что имеет вид:

.

Функцию запишем в виде:

или , где

и тогда точечная замена вида:

(7)

исходную систему уравнений (1) приводит к следующей системе уравнений:

(8)

где .

При этом закон сохранения нулевого порядка (2) имеет вид:

.

Рассмотрим последний случай, когда .

тогда из первых двух уравнений системы (4) следует, что:

.

Теперь закон сохранения нулевого порядка (3) перепишем следующим образом:

Далее сделаем точечную замену:

(9)

Тогда последнее примет вид:

,

где .

Таким образом, полагая исходную систему уравнений (1) запишем в виде:

(10)

Система уравнений (6) является частным случаем системы уравнений (11),если положить . Далее, если в уравнениях (8) сделать замену , то получим систему (6).

Итак, система (1), имеющая закон сохранения нулевого порядка, точечными преобразованиями приводится к системе (11).Теорема доказана.

 §2. Закон сохранения первого порядка

В этом параграфе рассматривается система уравнений вида (10).

В системе уравнений (11) сделаем замену:

,

тогда она запишется в виде:

(11)

Далее перейдем от переменных , к переменным .

Тогда закон сохранения первого порядка можно представить в следующем виде:

,(12)

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Система уравнений (11) имеет закон сохранения первого порядка (12), если справедливы следующие соотношения:

, (13)

,(14)

+

,(15)

, (16)

,(17)

, (18)

. (19)

Проведем анализ уравнений (14) — (19).

Из трех последних уравнений получаем, что имеет вид:

(20)

Теперь перепишем уравнения (14) — (16):

, (21)

, (22)

, (23)

Условие совместности:

(24)

согласно (20),(22) и (23) примет вид:

. (25)

Рассмотрим случай, когда функция , определяющая функцию по формуле (20), равна нулю. Имеет место следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть . Тогда система уравнений (11) имеет закон сохранения первого порядка (13), где вычисляются по формулам:

, (26)

, (27)

. (28)

Здесь

, (29)

,(30)

, (31)

, (32)

. (33)

Лемма 3. Пусть . Тогда система уравнений (11) имеет закон сохранения первого порядка (13), где вычисляются по формулам:

, (34)

, (35)

а φ произвольная функция.

При функции и произвольные функции, а функции определены по формулам:

, (36)

а при , эти функции определены по формулам:

(37)

Здесь произвольная функция.

И наконец, рассмотрим случай, когда Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть , тогда система уравнений (11) имеет закон сохранения первого порядка, где функции имеют вид:

, (38)

,(39)

. (40)

Здесь

, (41)

, (42)

,(43)

, (44)

,(45)

,(46)

При этом выполнены следующие соотношения:

(47)

(48)

, (49)

(50)

,(51)

где r = , S = , χ = . (52)

  

Литература:

 

  1. Михайлов А. В., Шабат А. Б. Условия интегрируемости систем двух уравнений вида .I //ТМФ. 1985. Т. 62, № 2. С. 163–185.
  2. Михайлов А. В., Шабат А. Б. Условия интегрируемости систем двух уравнений вида .II / / ТМФ. 1986. Т. 66, № 1. С. 47–65.
  3. Шабат А. Б., Ямилов Р. И. О полном списке интегрируемых систем уравнений вида: , . / / Препринт. Уфа: БФАН СССР. 1985. С. 28.
Основные термины: сохранения нулевого, сохранения нулевого порядка, системы уравнений, уравнений вида, дифференциальных уравнений, системы уравнений Шредингера, уравнений указанного вида, уравнений высших порядков, системы дифференциальных уравнений, Законы сохранения нулевого, систем уравнений вида, сохранения нулевого и первого, Закон сохранения нулевого, Шабат А. Б. Условия интегрируемости систем, законом сохранения нулевого, закон сохранения нулевого, система уравнений, Система уравнений, набором законов сохранения, первого порядков

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle