Библиографическое описание:

Букенов М. М., Фазылова Л. С. Двусторонние оценки для вязкоупругих сред // Молодой ученый. — 2015. — №24. — С. 1-4.

 

Рассмотрим в области , с границей и  — цилиндр, с боковой гранью .

Ставится задача найти решение следующих уравнений [1], [2]:

(1)

(2)

(3)

(4)

здесь (1) — уравнение движения, (2) — закон импульса, (3), (4) — уравнения состояния: (3) — вязкоупругая среда Максвелла, (4) — уравнение Кельвина-Фойгта; B — матрица коэффициентов Ламе, симметричная, положительно определенная, С — матрица, состоящая из коэффициентов вязкости, симметричная, положительно определенная,  — диагональная матрица,  — вектор скоростей, * — означает транспонирование,  — вектор напряжений,  — вектор деформаций; опорный оператор R определяется следующим образом [1]:

(5)

Матрицы В, С,  — перестановочны.

К соотношениям (1)-(4) нужно добавить соотношения перемещение-деформации: . Вектор перемещения u и скорости v связаны соотношением .

После несложных преобразований приходим к уравнениям:

(6)

для среды Максвелла,

(7)

для среды Кельвина-Фойгта.

Решение задачи (1)-(3), (6) будем искать в цилиндре . При этом

(8)

(9)

Предположим, что на боковой поверхности цилиндра Q искомое решение удовлетворяет одному из приведенных ниже однородных краевых условий;

(10)

Начальные данные (8), (9) и краевые условия (10) будем считать согласованными. При этом задачу (1)-(3), (6) назовем задачей (I), а задачу (1), (2), (4), (7) — задачей (II).

Как известно, если , то справедлива оценка

(11)

В соответствии с методом фиктивных областей [3], [4], дополним исходную область D некоторой областью до составной области с границей .

В составной области рассмотрим задачу:

(12)

где  — малый параметр и

На границе ставятся условия согласования:

(13)

где n — вектор нормали к границе , знаки «+» или «-» означают стремление функции изнутри и извне границы . Параметр P принимает значение 1 или -1.

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Верна оценка

(14)

Здесь и соответствуют решению задачи (12), (13) и отвечают значению параметра и .

Доказательство. Рассмотрим следующие ряды: в области Q, в области . Ряды , являются абсолютно сходящимися при достаточно малых .

В самом деле, для определения функций , получаем

(15)

Решения (15) имеем из теории неоднородных задач [5]

(16)

Далее получим сходимость рядов ,

Учитывая (11), (16), получим:

(17)

где .

Если , то ряд абсолютно сходится в Q, а ряд абсолютно сходится в норме .

Теорема 2. Если , то справедлива следующая оценка:

(18)

где и  — решения задачи (12), (13) при и ,  — решение задачи (I).

Доказательство. На основании теоремы 1 имеем

(19)

где , соответствуют параметру .

Соответственно на основании теоремы 1 имеем

(20)

где , соответствуют параметру .

Очевидно, что  — решение задачи I.

Введем обозначения

тогда для функции получим задачу

Отсюда получаем или .

Введем функцию где удовлетворяет задаче

Отсюда получаем и, следовательно, .

Далее, определим имеем . Продолжая аналогичные рассуждения, получим

(21)

Учитывая (21), подставляя в (19), (20), получим в Q:

(22)

Используя (17) и разложение (22), получаем при

Для задачи II в соответствии с методом фиктивных областей построим вспомогательную задачу

(23)

Дополним начальными и краевыми условиями из (12) и условия сопряжения (13).

Для задачи II верна

Теорема 3. Для верна оценка

.(24)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Кроме того, справедлива

Теорема 4. Если , то верна следующая оценка

(25)

где  — решение задачи II, и  — решения задачи (23) при и .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.

Запись исходных задач в терминах оператора и сопряженного , обусловлены возможностью построения консервативных разностных схем, допускающих реализацию с помощью схем расщепления.

 

Литература:

 

  1.                Букенов М. М., Кузнецов Ю. А. Об одной спектральной задаче теории упругости. // ВЦ СО АНСССР, Препринт, Новосибирск, 1981г. — 13 с.
  2.                Букенов М. М. Постановка динамической задачи линейной вязкоупругости в скоростях напряжениях. // Сиб. Журнал вычислительной математики РАН. Сиб. Отд. — Новосибирск, 2005. — т.8, № 4. — с. 289–295.
  3.                Коновалов А. Н. Об одном варианте метода фиктивных областей. // В кн. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. — Новосибирск, 1975, с. 191–199.
  4.                Букенов М. М. Метод фиктивных областей для среды Максвелла. // Численные методы и пакеты программ для решений уравнений математической физики. — Новосибирск, 1985 — т. 4, № 2. — с. 117–126.
  5.                Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — Москва: Наука. — 1967. — 736 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle