Математическая модель непрерывного смесителя в производстве битумных вибродемпфирующих материалов

 

В производстве битумных вибродемпфирующих материалов битумная смесь готовится в дискретных смесителях, из которых по входам 1,2 (рис 1.) подается в непрерывный смеситель, представляющий собой горизонтальный аппарат эллиптического сечения с многовинтовой мешалкой, для перемешивания смесей различных партий и усреднения их характеристик. Из непрерывного смесителя смесь с помощью обогреваемого шнека подается на каландр (выход 3), на котором формируется в виде полотна заданной толщины.

Для решения задачи управления композитным коэффициентом потерь битумной смеси, определяющим эффективность вибродемпфирования получаемого материала, необходимо построить гидродинамическую модель непрерывного смесителя, показывающего эффективность смешения в нем смесей различных партий.

Для описания гидродинамического режима смешения битумного материала используется ячеечная модель гидродинамики, представляющая собой последовательно включенные аппаратов идеального смешения [1,2]. Функция распределения по времени пребывания в выходном потоке для ячеечной модели описывается выражением [1-5]

                                                   ,                                                              (1)

где      - количество ячеек в модели;

- нормированное время моделирования;

- текущее и среднее время соответственно, с.

Графики для моделей с различным количеством ячеек () представлен на рис. 2. При функция распределения имеет вид  и описывает дифференциальную функцию распределения времени пребывания в аппарате идеального смешения (весовую функцию апериодического звена первого прядка при ). При функция времени распределения времени пребывания имеет вид

                                                             .                                                               (2)

По мере увеличения кривые распределения становятся всё более крутыми и всё ближе приближаются к графику - функции. При ячеечная модель вырождается в модель звена идеального вытеснения.

Рис. 2. Функция распределения для ячеечной модели

 

Непрерывный смеситель имеет интенсивную мешалку. Однако, ввиду большой вязкости смеси и невозможности её мгновенного перемешивания, вместо модели звена идеального смешения используется гидродинамическая ячеечная модель второго порядка, представляющая собой два последовательно включенных звена идеального смешения (рис. 3).

Рис. 3. Ячеечная модель непрерывного смесителя

 

Постоянная времени ячеек модели определена из условия равенства среднего времени пребывания используемой модели среднему времени пребывания битумной смеси в смесителе.  Среднее время пребывания для гидродинамического объекта равно [1,2,4]

                                                        ,                                                                  (3)

где      - функция распределения выходного потока в момент времени

по времени пребывания

Для апериодического звена первого порядка реакция звена на импульсную функцию определяется выражением . Тогда среднее время пребывания реагента в аппарате идеального смешения

                (4)

Для двух последовательно соединенных апериодических звеньев – ячеечная модель

                                                      .                                                                (5)

Свяжем характеристики функции распределения со средним временем пребывания частиц в аппарате [2]. Интегральная функция времени пребывания - определяет вероятность того, что время пребывания некоторой частицы окажется меньше . Рассмотрим систему в произвольный фиксированный момент времени относительно которого следует начать счёт времени , Частицы, содержащиеся в системе, вошли в неё до момента , за период времени от до в систему вошло количество потока, равное , где - объёмная скорость потока (расход). Доля этого количества имеет время пребывания меньше, чем , и, таким образом, уже покинула систему к рассматриваемому моменту времени. Отсюда общий вклад в систему к моменту времени , за счёт предыдущего периода от до составит объём . Полный объём системы в этот момент времени равен сумме всех элементарных вкладов за счёт всей предыстории системы [2]

                                                                                          (6)

Интегрирование выражения (6) по частям даёт

                                              ;

                                              ;

                                                                                                                                          (7)

где      - объем аппарата смешения

- расход смеси на выходе аппарата, .

Таким образом, независимо от вида функции распределения среднее время пребывания потока в аппарате равно отношению объёма материала в смесителе к расходу материала на выходе [2].

Приравнивая выражение (5) и (7) при объёме аппарата и расходе на выходе получим постоянную времени одной ячейки гидродинамической модели                                                откуда   

На основании проведённого анализа гидродинамическая модель буферной ёмкости примет вид

                                                                                       (8)

Дискретная форма передаточной функции буферной ёмкости (смесителя) при принятом периоде дискретизации имеет вид

                                                                                     (9)

Построенная гидродинамическая модель смесителя использована при построении многомерной робастной системы управления композитным коэффициентом потерь битумного материала.

 

Литература:

1. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1985. -448с.
2. Кафаров В.В. Дорохов И.Н. Системный анализ процессов химической технологии. М.: Химия, 1976. – 500с.
3. Фрэнкс Р. Математическое моделирование в химической технологии. М.: Химия, 1971. – 272с.
4. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов. М.: Химия, 1969. -624 с.
5. Луценко В.А., Финякин Л.Н. Аналоговые вычислительные машины в химии и химической технологии. М.: Химия, 1979. –248 с.