Библиографическое описание:

Халлокова О. О., Асланова Д. Ф. Условия существования собственных значений одной операторной матрицы 2х2 // Молодой ученый. — 2015. — №23. — С. 13-16.

 

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом квантовых частиц на целочисленной решетке. Их количество может быть неограниченным, как в случае моделей спин-бозонов [2,3] или ограниченным, как в случае урезанных моделей спин-бозонов [4,5]. Отметим, что такие системы обычно возникают в задачах физики твердого тела [6], квантовой теории поля [7], статистической физики [8], магнитогидродинамики [9] и квантовой механики [10].

В настоящей работе рассматривается блочно-операторная матрица (обобщенная модель Фридрихса), ассоциированная с системой не более, чем двух, квантовых частиц на –мерной решетке. Описывается его существенный и дискретный спектры. Найдены условия существования собственных значений.

Пусть –мерный тор, т. е. куб  — с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в по модулю , где и - множество вещественных и целых чисел, соответственно. Например, если и

,

то

.

Пусть  — одномерное комплексное пространство и  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Символом обозначается прямая сумма пространств и , т. е. . Пространства и называются нольчастичным и одночастичным подпространствами фоковского пространства, соответственно.

Хорошо известно, что любой линейный ограниченный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , всегда представляется как блочно-операторная матрица

,(1)

где матричные элементы , являются линейными ограниченными операторами. Очевидно, что оператор тогда и только тогда, когда

.

В настоящей работе рассмотрим случай, когда операторы в формуле (1), определяются равенствами:

,

.

При этом  — фиксированное вещественное число, и вещественнозначные непрерывные функции на , а сопряженное оператор к и

.

Полученный оператор обычно называется обобщенная модель Фридрихса и является ограниченным и самосопряженным.

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

В математической физике оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения.

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Пусть оператор , действует в как

.

Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

,

где числа и определяются следующим образом:

.

Из последних фактов следует, что .

Определим регулярную в функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Следующая лемма установит связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть число  — есть собственное значение оператора и пусть  — соответствующая собственная вектор-функция. Тогда эта вектор-функция удовлетворяет уравнению или системе уравнений

(2)

Так как , из второго уравнения системы (1) для имеем

. (3)

Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) заключаем, что система уравнений (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда . Лемма 1 доказана.

Из леммы 1 вытекает, что

.

Таким образом

.

Так как функция является строго убывающей на полуосях и , то отсюда и из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что существуют пределы (конечное или бесконечное)

;

.

По определению и .

Лемма 2.Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на , тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть , –собственное значение оператора . В силу леммы 1 это означает, что . Так как для любого имеет место соотношение

,

функция монотонно убывает на полуосях и . Следовательно, .

Обратно. Пусть для некоторого выполняется неравенство . Так как и функция монотонна и непрерывна в полуоси , то существует единственное число такое, что . По лемме 1 число – является собственным значением оператора . Лемма 2 доказана.

Следующая лемма доказывается аналогично.

Лемма 3.Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на , тогда и только тогда, когда .

Таким образом имеет место следующая теорема.

Теорема 1.

а)                  Если , то оператор не имеет собственных значений на ;

б)                 Если , то оператор имеет единственное собственное значение на ;

в)                  Если , то оператор не имеет собственных значений на ;

г)                  Если , то оператор имеет единственное собственное значение на .

Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3.

Следствие. Если и , то оператор имеет два собственных значений , причем и .

 

Литература:

 

  1.                C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Imperial College Press, 2008.
  2.                H. Spohn. Ground states of the spin-boson Hamiltonian. Comm. Math. Phys., 123 (1989), 277–304.
  3.                M. Huebner, H. Spohn. Spectral properties of the spin-boson Hamiltonian. Ann. Inst. Henri Poincare, 62:3 (1995), 289–323.
  4.                Ю. В. Жуков, Р. А. Минлос. Спектр и рассеяние в модели «спин-бозон» с не более чем тремя фотонами. Теор. и матем. физика, 103:1 (1995), 63–81.
  5.                R. A. Minlos, H. Spohn. The three-body problem in radioactive decay: the case of one atom and at most two photons. Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations–Series 2, 177 (1996), 159–193.
  6.                A. I. Mogilner. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schroedinger operators: problems and results. AdvancesinSov. Math. 5 (1991), 139–194.
  7.                К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
  8.                V. A. Malishev, R. A. Minlos. Linear infinite-particle operators. Translations of Mathematical Monographs. 143, AMS, Providence, RI, 1995.
  9.                A. E. Lifschitz. Magnetohydrodynamic and spectral theory. Vol. 4 of Developments in Electromagnetic Theory and Applications. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1989.
  10.            B. Thaller. The Dirac equation. Texts and Monographs in Physics. Springer, Berlin, 1992.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle