Библиографическое описание:

Дехконов Ф. Н. Алгоритм координации в динамических системах // Молодой ученый. — 2015. — №23. — С. 3-5.

 

В этой работе мы рассмотрим алгоритм координации для системы, в которой модели элементов задаются дифференциальными уравнениями.

Приведенный алгоритм, основанный на теории двойственности, является одним из простейших алгоритмов координации в динамических системах. Более сложные и совершенные алгоритмы приведены в работе [2].

Пусть система состоит из N взаимосвязанных подсистем, каждая из которых описывается системой линейных дифференциальных уравнений:

(1)

Здесь вектор выходов го элемента, -вектор уравнений - го элемента, вектор входов го элемента, матрицы с постоянными коэффициентами.

Предполагается, что вектор входов является линейной комбинацией выходов других подсистем:

(2)

Заметим, что в (2) не исключается возможность того, что , т.е не исключаем возможности обратной связи в подсистемах.

Если уравнения взаимосвязи подставить в (1), то можно получить стандартную форму

(3)

Где А и В полные матрицы системы.

Глобальная целевая функция имеет вид

(4)

Где положительно определенные матрицы, строго положительно определенные матрицы, локальная целевая функция го элемента:

Член под интегралом в (4) вводится для того, чтобы исключить вырожденные случаи.

Рассмотрим приведенный в (2) алгоритм, осуществляющий двухуровневую процедуру решения задачи. Алгоритм основан на модификации целей элементов путем введения штрафов за невыполнение ограничений (2).

Введем двойственную функцию при соблюдении ограничений (1); где L- лагранжиан, определяемый формулой

вектор множителей Лагранжа.

Для заданного значения вектора множителей Лагранжа лагранжиан можно записать в виде

Таким образом, для заданного = оказывается возможным максимизировать подлагранжианы независимо для каждого элемента. Поэтому значение двойственного функционала определяется путем независимого решения N локальных задач вида

Известно [2], что для рассматриваемой задачи выполняется равенство

Таким образом, задача сводится к минимизации двойственного функционала по . Это можно осуществить в соответствии с двухуровневой структурой, когда на нижнем уровне при фиксированном значении решаются независимо N локальных задач а на верхнем уровне решается задача выбора оптимального значения вектора .

Механизм последовательного улучшения значений функции F() основан на том факте, что оказывается возможным вычислить простое выражение для градиента F() в терминах решений, получаемых при решении задач локальной максимизации.

Градиент задается ошибкой между прогнозным и фактическим значением входов подсистем, т. е.

Этот вектор ошибок используется в градиентной процедуре для формирования нового значения вектора .

Последовательное изменение вектора  происходит по формулам

где к означает номер итерации; длина шага; направление.

Если используется метод наискорейшего спуска, то ; если используется метод сопряженных градиентов то

Процедура заканчивается, когда , достаточно близко к нулю.

 

Литература:

 

  1.                Алиев Р.А, Либерзон М. Н. Об одном подходе к координации в двухуровневых нечетких системах. Рига: Риж. политех. Ин-т.1983.
  2.                Singh M. G. Dynamical Hierarchical Contol -Amsterdam North-Holland, 1977.-

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle